9.1.2 第2课时 余弦定理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

9.1.2 第2课时 余弦定理的综合应用 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则cos C的值等于 (　　) A.　　　　　　　 B.- C.- D.- 解析:选D　由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，不妨设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)，则由余弦定理，得cos C===-. 2.在边长为6的菱形ABCD中，设=a，=b，A=120°，则|a-b|= (　　) A.36 B.12 C.6 D.6 解析:选D　由题意，得|a-b|=|-|=||.由余弦定理得DB2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=108，DB=6.故|a-b|=6. 3.在△ABC中，若A=30°，b=1，S△ABC=，则的值为 (　　) A.2 B.2 C. D. 解析:选B　在△ABC中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由题知，S△ABC==bcsin A.又∠A=30°，b=1，所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，解得a=.所以由正弦定理得====2，故选B. 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b-c=a，2sin B=3sin C，则cos A= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　由2sin B=3sin C，得2b=3c，则b-c=b-b=a，即b=a，所以c=b=×a=a，故cos A====-. 5.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的值为 (　　) A. B. C.+1 D. 解析:选A　因为AD⊥AC，所以∠DAC=90°.所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°.又因为sin∠BAC=，所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=.在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-24=3，所以BD=. 6.在△ABC中，AB=3，AC=2，cos∠BAC=，点D在BC边上且AD=，则sin∠ADC= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　在△ABC中，BC===3. 所以BA=BC.所以∠BAC=∠BCA. 所以sin∠BCA=sin∠BAC==. 在△ADC中，由正弦定理得，=，即=，所以sin∠ADC=. 7.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b2+c2-16=bc，则 (　　) A.A= B.当△ABC有两解时，b的取值范围是(4，8) C.△ABC面积的最大值为8+4 D.当BC边上的中线的长为2时，b2+c2=24 解析:选BCD　因为a=4，b2+c2-16=bc，所以b2+c2-a2=bc，所以cos A===.又A∈(0，π)，所以A=，故A错误；当△ABC有两解时，则bsin A<a<b，即b<4<b，所以4<b<8，故B正确；因为b2+c2-16=bc≥2bc-16，所以bc≤16(2+)，当且仅当b=c=2+2时取等号，所以S△ABC=bcsin A=bc≤8+4，故△ABC面积的最大值为8+4，故C正确；设BC的中点为D，则=(+)，所以=(++2·)，即32=b2+c2+bc.又b2+c2-16=bc，所以b2+c2=24，故D正确. 8.(5分)我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为　　　　.  解析:设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2=42+42-2×4×4×=8，解得x=2，即该“圭田”的底边长为2. 答案:2 9.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若+=，则B=　　　　.  解析:在△ABC中，由+=， 得1++1+=3， 即c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，整理得a2+c2-b2=ac.由余弦定理得cos B==.而0°<B<180°，所以B=60°. 答案:60° 10.(5分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sin Acos C=3cos Asin C，则b的值为　　　　.  解析:在△ABC中，因为sin Acos C=3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理得a·=3··c，化简并整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b，所以4b=b2，解得b=4或b=0(舍去). 答案:4 11.(5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m=(bsin B-asin A，c-b)，n=(1，sin C)，且m⊥n，则角A的大小为　　　　；若a=7，b+c=8，则△ABC的面积是　　　　.  解析:由m⊥n，得(bsin B-asin A)·1+(c-b)·sin C=0，化简得b2+c2-a2=bc，所以cos A==.因为A∈(0，π)，所以A=.当a=7，b+c=8时，由cos A==，得==，解得bc=5，所以S△ABC=bcsin A=×5×=. 答案:　 12.(10分)如图，AM是△ABC中BC边上的中线，求证:AM= . 解:设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ， 设AB=c，AC=b，BC=a， 在△ABM中，cos θ= =. 在△AMC中，cos(π-θ) ==， 所以cos θ+cos(π-θ) =+ ==0，即2AM2+-c2-b2=0. 所以AM= = . 13.(10分)(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1-S2+S3=，sin B=. (1)求△ABC的面积；(5分) (2)若sin Asin C=，求b.(5分) 解:(1)由S1-S2+S3=，得(a2-b2+c2)=，即a2-b2+c2=2， 又a2-b2+c2=2accos B，所以accos B=1. 由sin B=，得cos B=或cos B=-(舍去)，所以ac==，则△ABC的面积S=acsin B=××=. (2)由sin Asin C=，ac=及正弦定理得===， 即b2=×=，得b=. 14.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c. (1)若2a=3b，求sin A；(7分) (2)证明:=.(8分) 解:(1)依题意，A=2B，所以sin A=sin 2B， 即sin A=2sin Bcos B. 由正弦定理可知，a=2bcos B， 即cos B=， 从而cos A=cos 2B=2cos2B-1=. 又A为三角形的内角，故sin A=. (2)由(1)可知，a=2bcos B， 由余弦定理可得a=2b·， 即a2c=a2b+c2b-b3， 则a2(c-b)=b(c2-b2).又b≠c， 故a2=bc+b2，从而=. 15.(15分)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=sin B，且c=4. (1)求边b的值；(5分) (2)若D为边BC的中点，cos∠CAD=，求△ABC的面积.(10分) 解:(1)因为sin C=sin B， 由正弦定理得c=b，且c=4， 所以b=4. (2)延长AD至点E，满足AD=DE，连接EB，EC，在△EBC中， 由余弦定理得cos∠CAE==. 因为AC=4，EC=4， 代入上式整理得AE=8， 所以AD=4.又cos∠CAD=， 所以sin∠CAD==. 所以S△ABC=2S△ADC=2·AD·AC·sin∠CAD=4. 学科网（北京）股份有限公司 $