11.4.1 第2课时 线面垂直的性质定理及应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

1.4.1 第2课时 线面垂直的性质定理及应用 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.⇒b⊥α B.⇒a∥b C.⇒b∥α D.⇒b⊥α 解析:选AB　由性质定理可得A、B正确.故选A、B. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则 (　　) A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 解析:选B　因为B1B⊥平面A1C1,又因为l⊥平面A1C1,所以l∥B1B. 3.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 (　　) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 解析:选B　因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B. 4.在正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面为正三角形的三棱柱)ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图, 取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E,BF,EF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH即为所求的线面角.又DH=B1E=,DA=, 所以sin∠DAH==. 5.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 (　　) A.α∥β且l∥α B.α∥β且l⊥β C.α与β相交,且交线与l垂直 D.α与β相交,且交线与l平行 解析:选D　若α∥β,则由m⊥平面α,n⊥平面β,可得m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,故α与β相交.设α∩β=a,过空间内一点P,作m'∥m,n'∥n,m'与n'相交,m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m,l⊥n,所以l⊥m',l⊥n',m'与n'相交,所以l⊥γ.因为m⊥α,n⊥β,所以m'⊥α,n'⊥β,所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥γ.又因为l⊄α,l⊄β,所以l与a不重合.所以l∥a.综上知,选D. 6.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD= (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选A　因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以=.因为OA=AB,所以=.因为AC=1,所以BD=2. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则 (　　) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析:选D　 如图,连接BD,易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角,所以在Rt△BDB1中,∠BDB1=30°,设BB1=1,则B1D=2BB1=2,BD==.易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角,所以在Rt△ADB1中,∠AB1D=30°,因为B1D=2,所以AD=B1D=1,AB1==,所以在Rt△ABB1中,AB==,所以A错误;易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角,所以在Rt△ABB1中,sin∠BAB1==≠,所以∠BAB1≠30°,所以B错误;在Rt△CBB1中,CB1==,而AC==,所以C错误;易知∠DB1C是直线B1D与平面BB1C1C所成的角,因为在Rt△DB1C中,CB1=CD=,所以∠DB1C=45°,所以D正确.故选D. 8.(5分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是　　　　.   解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC. 答案:平行 9.(5分)如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　.  解析:∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, ∴AF∥DE.又AF=DE,∴四边形AFED为平行四边形,故EF=AD=6. 答案:6 10.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是　　　　.  解析: 如图所示,连接BC1,B1C交于点O,连接A1O,因为BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,B1C∩A1B1=B1,所以BC1⊥平面A1B1O,又A1O⊂平面A1B1O,所以BC1⊥A1O,所以A1O的长度即为所求.因为A1B1=a,B1O=a,所以A1O==a. 答案:a 11.(5分)已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将三角形ABC折起,使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上,此时cos∠BAD的值是　　　　.  解析: 设点B在平面ACD上的射影在线段AD上为H,则BH⊥平面ADC,∴BH⊥DC.又DC⊥AD,且AD∩BH=H,AD,BH⊂平面ABD,∴DC⊥平面ABD,可得CD⊥BD.在Rt△BDC中,由BC=4,CD=3,可得BD===.设DH=x,则AH=4-x,∴BD2-DH2=AB2-AH2,即7-x2=9-(4-x)2,解得x=,所以cos∠BAD==. 答案: 12.(10分)如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=. 解:∵PA⊥平面ABD,BD⊂平面ABD,∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BCD,BD,EF⊂平面BCD, ∴PC⊥BD,PC⊥EF. ∵PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,∴EF⊥平面PAC. ∴EF∥BD.∴=. 13.(10分)如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点. 求证:平面DMN∥平面ABC. 证明:因为M,N分别是EA,EC的中点,所以MN∥AC, 又因为AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,所以MN∥平面ABC, 因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,所以BD∥EC, 又CE≠BD,所以四边形BDEC为直角梯形, 因为N为EC的中点,EC=2BD,所以NC􀰿BD,所以四边形BCND为矩形,所以DN∥BC,又因为DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以DN∥平面ABC,又因为MN∩DN=N,MN⊂平面DMN,DN⊂平面DMN,所以平面DMN∥平面ABC. 14.(15分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,试画出异面直线A1B和B1D1的公垂线并求它们的距离. 解:取A1B1中点M,连接AM,C1M,分别交A1B,D1B1于点E,F,连接EF,AC1,A1C1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1C1⊥B1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1, B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1. 又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1, 所以B1D1⊥平面AA1C1. 又AC1⊂平面AA1C1, 所以B1D1⊥AC1. 同理A1B⊥AC1. 因为C1D1∥A1B1∥AB, 所以==,==. 所以EF∥AC1且EF=AC1. 所以EF⊥A1B,EF⊥B1D1. 所以EF是异面直线A1B和B1D1的公垂线,EF=AC1=. 学科网（北京）股份有限公司 $