11.4.1 直线与平面垂直-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N高中数学必修第四册人教B版 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 基础练习 A.空间四边形 B.矩形 一、选择题 C.菱形 1.空间中直线1和三角形的两边AC, D.正方形 BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三 6.如图，在正方体 边AB的位置关系是() B ABCD-ABCD1中，M,N A.平行 B.垂直 分别为AC,AB的中点，则 C.相交 D.不确定 下列说法错误的是( 2.过已知平面外一点A作与a垂直 A.MN⊥CD 第6题图 的直线的条数有( B.直线MN与平面ABCD所成角为45 A.0 B.1 C.MN∥平面ADDA1 C.2 D.无数 D.异面直线MN与DD1所成角为60 3.下列说法中可以判断直线l⊥平面 7.(多选题)如图，六棱锥P-ABCDEF 的是() 的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,则下 A.直线1与平面内的一条直线垂直 列结论正确的是（ D B.直线l与平面内的两条直线垂直 A.CF⊥平面PAD C.直线l与平面a内的两条相交直线垂直 B.DF⊥平面PAF D.直线L与平面x内的无数条直线垂直 C.CF∥平面PAB 4.已知m,n是两条不重合的直线，a D.CD∥平面PAF 第7题图 是一个平面，nCa,则“m⊥”是“m⊥n”:二、填空题 的() 8.在长方体ABCD-ABCD1的六个面中， A.充分不必要条件 与直线BB,垂直的面的个 B.必要不充分条件 数有」 个 C.充要条件 9.如图，拿一张矩形 D.既不充分也不必要条件 纸片对折后略微展开，竖 第9题图 5.空间四边形的两条对角线相互垂直，：立在桌面上，折痕与桌面的关系是 顺次连接四边中点的四边形一定是（)： 10.在三棱锥A-BCD中，E,F,G分别 66)练 第十一章立体几何初步 是AB,AC,BD的中点，若AD与BC所成 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥ 的角为60°，则∠FEG= 底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD= 11.已知三棱锥PABC中，PA⊥PB, CD=1,M是PB的中点. PA⊥PC,PC⊥PB,则顶点P在底面ABC上 (1)求证：AM∥平面PCD 的射影是△ABC的 心 (2)求证：AC⊥平面PAB. 三、解答题 12.如图，在正方体ABCD-ABCD1中 (1)求证：AB∥平面ADCB. (2)求证：BC,⊥平面ADCB 第13题图 第12题图 提升练习 14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB= 1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在边BC上 只有一个点Q满足PQ⊥QD,则实数a的值 为 第14题图 第15题图 15.如图，在正方体ABCD-ABCD1中， 点P在侧面BCCB,及其边界上运动，并且 总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹 为 67 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时」 直线与平面垂直的性质定理 基础练习 c D. 6.已知直线1平面，有以下几个判断： 一、选择题 ①若m⊥l,则m∥ax; 1.空间中垂直于同一个平面的两条直线 ②若m⊥，则m∥1： ( ③若m∥，则m⊥l; A.相交 B.异面 ④若m∥l,则m⊥. C.平行 D.垂直 上述判断中正确的是( 2.下列说法中不正确的是（) A.①②③ B.②③④ A.一条直线垂直于一个平面，则它们 C.①③④ D.①②④ 所成的角是90° 7.(多选题)下列结论正确的是() B.一条直线和一个平面平行，或在平 A.两条异面直线中有一条直线垂直于一 面内，则它们所成的角是0 个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 C.斜线与平面所角的取值范围为0°≤ B.过一点只有一条直线与已知平面垂直 0≤909 C.一条直线与两个平行平面所成的角 D.直线与平面所成角的取值范围为O°≤ 相等 0≤90° D.两条平行直线与一个平面所成的角 3.已知直线a⊥平面ax,直线bC平面： 相等，反之，若两条直线与一个平面所成的 α，则下列结论一定成立的是() 角相等，则这两条直线平行 A.a与b相交 B.a与b异面 二、填空题 C.a⊥b D.a与b无公共点 8.已知直线a,b及平面a,下列命题中： 4.点P为平面ABC外的一个点，点M ①/al6 「a⊥b →a∥a;② →a⊥： 是棱BC上的动点（包含端点），记异面直线 b⊥ b∥a PM与AB所成角为a,直线PM与平面ABC a∥b a∥b →a∥a;④ →a⊥ 所成角为B,则() lb∥a b⊥ A.aB B.a<3 所有正确命题的序号为 C.≥B D.a≤B 9.已知三棱锥PABC,PA⊥底面ABC, 5.若一个圆锥的侧面积是底面面积的2 PA=AC,则直线PC与平面ABC所成角的大 倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大 小为 小为() 10.在正方体ABCD-AB,CD1中，AA=2, A君 B.T E为DD1的中点，则AD1到平面BCE的距 4 :离为 68)练 第十一章立体几何初步 11.已知正三棱锥S-ABC,SA=SB=SC= 13.如图，已知四棱锥P-ABCD,底面 2,AB=AC=BC=1,则直线SA与底面ABC ABCD是菱形，∠ADC=120°，M,N分别为 所成角的余弦值为 AD和PC的中点，PML平面ABCD 三、解答题 (1)求证：BCL平面PMB. 12.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD (2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC 中，AB=1,AA=2,M是DD1的中点. 所成角的余弦值. (1)求证：BD1∥平面AMC: (2)证明：AC⊥BD. (3)求点D到平面MAC的距离， 第13题图 D 第12题图 提升练习 14.(多选题)如图，PA1 ⊙0所在的平面，AB是⊙O 的直径，C是⊙0上的一点， E,F分别是点A在PB,PC上 的射影，则下列结论正确的是 第14题图 ( ) A.AF⊥PB B.EF⊥PB C.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC 15.如图，已知六棱 锥P-ABCDEF的底面是正 六边形，PA⊥平面ABC, D PA=2AB,则下列结论中： B ①PB⊥AE;②直线BC∥ 第15题图 平面PAE;③∠PDA=45°. 其中正确的有 (把所有正确 的序号都填上) 练 69N 高中数学必修第四册人教B版 线上，即P在平面x(B在a的下方)上方时，：a∥B, 平面PBD∩平面a=AC,平面PBD∩平面B=BD,..AC∥ D,常品H=6,AB-2.D=12小冷答，解 得AC=9. ②当点P在AB的延长线上，即P在平面B(a在B的 下方)的上方时，类似①中的方法，可得假=2、= 6,AB=2,B0=2.合是，解得AC=18,综上，可得 AC=9或18.故选BD. 9.6cm【解析】连接AF交平面B于点G,连接CF, BG,EG,AD(图略).AC∩AF=A,·.直线AC和AF确 定一个平面AFC,则平面AFC∩B=BG,平面AFC∩y=CF 又8/，Bc/CR设=治同理，可证=品， EFGF,· 提=2路.号年E6cm 10.①④ 山[3Y2,]【解析】 如图所示，分别取棱BB,B1C1的 中点M,N,连接MN,BC..M D N,E,F分别为所在棱的中点， ∴MW∥BC,EF∥BC,MW∥EE 第11题答图 又.MW丈平面AEF,EFC平面 AEF,∴MN∥平面AEF连接NE,AN,AM,.AA1∥NE. AA=NE,∴.四边形AENA,为平行四边形，AN∥AE.又 .AN平面AEF,AEC平面AEF,AN∥平面AEF:又 .AN∩MN=N,.平面AMW∥平面AEEP是侧面BCCB1 内一点，且AP∥平面AEF,P必在线段MN上.在 R△AB,M中，AM=VA医+F-VI+于-Y5,同 理，在R△A,BV中，求得AN=Y,△AMN为等题 三角形.取MN的中点O,连接AO,当P在MN的中点O 处时，AP⊥MW,此时AP最短，当P位于点M,N处时， Ap最长.A0=VA0=1V5-2 3Y2,AM=A,N=Y)5,线段A,P的长度的取值范围 4 是42.] 12.①②③【解析】.四边形ABCD为正方形，则 AC∥BD,又BD￠平面SAC,ACC平面SAC,.BD∥平面 SAC,则①正确：又.AD∥BC,AD￠平面SBC,BCC平 90 面SBC,则AD∥平面SBC,且ADC平面SAD,平面 SAD∩平面SBC=L,.·l∥AD.又AD∥BC,.L∥BC,则②正 确；∠ASB>90°，.两条母线的夹角可能为90°.E是底 面圆周上的动点，设母线长为a,则(Saw)m=SM·SE= 号众，又5ae=2MS8n∠AsB=号in∠ASB,而 sin∠ASB<l,·.(S△sE)m>S△sB,△SAE的最大面积大于 △SAB的面积，则③正确. 13.证明：（1)如图，连接 EF,H,HG,GE,E,G分别 为BC,AB的中点，.EG∥AC.又 D以F DF:FC=2:3,DH:HA=2:3, FH∥AC,∴EG∥FH.E,F,G, 第13题答图 H四点共面. (2)由(1)，可知EG∥FH,且EG≠FH,即EF,GH 是梯形的两腰，.它们的延长线必相交于一点P,P∈EF, P∈GH..EFC平面BCD,GHC平面ABD,.∴P∈平面 BCD,P∈平面ABD.又平面BCDn平面ABD=BD,∴.由基 本事实3，知P∈BD,直线EF,GH,BD交于一点. 14.(1)证明：如图，连接AC,A C 交A1C于点O,连接DO.三棱柱ABC AB,C为直三棱柱，∴.四边形ACCA1为 矩形，O为AC的中点.又D为AB的 中点，∴DO∥BC.D0C平面ACD, D BC1丈平面A1CD,.BC1∥平面A1CD 第14题答图 (2)解：AC=CB=2,AB=2V2, AC+CB=AB.ACLCB.SA=AC.BC=2.= 之Sa=l.又三棱柱ABCA,BG为直三楼柱，V4a =4o=兮5ao44=}xx2=号 3 m11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 1.B【解析】，·三角形的两边AC,BC有交点C,且直 线L和AC,BC同时垂直，·.该直线垂直平面ABC,故该 直线与AB垂直.故选B. 2.B【解析】由过一点垂直于一个平面的直线有且只 有一条，故过平面α外一点A作与α垂直的直线的条数有 1条.故选B. 3.C【解析】根据线面垂直的判定定理，直线垂直平 面内两条相交直线，强调两条、相交，A,B不正确，C正 确：根据线面垂直的定义，直线垂直平面内的任一条直线， 此时强调任一条，不是无数条，：这无数条直线可能是平 行的，D不正确.故选C 4.A【解析】由线面垂直的性质，知若m⊥a,nCa, 则m上n成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m 必须垂直平面内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性 不成立.故选A. 5.B【解析】如图，空间四边形 ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点，则有EF∥AC 且EF=号AC.同理HG/AC且HG- 之AC,EF/HG且EF=GH.四边 第5题答图 形EFGH为平行四边形.又.AC⊥BD,.EF⊥EH..四边 形EFGH为矩形.故选B. 6.D【解析】如图，连接BD,AD,则AC∩BD=M 四边形ABCD为正方形，M为BD的中点.又N为AB 的中点，MW∥AD.:ADC平面ADDA,MW平面 ADDA1,MN∥平面ADDA1,C正确；：CD⊥平面 ADDA1,ADC平面ADDA1,.CD⊥AD.又MN∥AD, .CD⊥MN,A正确；，AA1⊥平面ABCD,MN∥AD,.MN 与平面ABCD所成角即为∠A1DA..∠ADA=45°，.MN与 平面ABCD所成角为45°，B正确；MN∥AD,.MN与 DD1所成角即为∠DDA.∠DDA1=45°，MN与DD1所成 角为45°，D错误.故选D. 第6题答图 第7题答图 7.BCD【解析】.六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边 形，则CD∥AF,且CDI平面PAF,AFC平面PAF,可得 CD∥平面PAF,故D正确；又，PA⊥平面ABC,DFC平 面ABC,则PA⊥DF,且AF⊥DF,AF∩PA=A,AF,PAC 平面PAF,DF⊥平面PAF,故B正确；由正六边形的性 质，可知CF∥AB,且CFt平面PAB,ABC平面PAB,可 得CF∥平面PAB,故C正确：若CF⊥平面PAD,由 ADC平面PAD,则CF⊥AD,可得四边形ACDF为正方形， 即AC=CD=BC=AB,则△ABC为等边三角形，则∠ABC= 参考答案。 60°，这与∠ABC=120°相矛盾，∴.CF与平面PAD不垂直， 故A不正确.故选BCD. 8.2【解析】如图所示，仅有平面ABCD和平面 ABCD1与直线BB1垂直 D C B D.- B 第8题答图 9.垂直【解析】令桌面所在的平面为α，折痕所在直 线为l,纸片与桌面公共部分所在直线为a,b,如图，依 题意有a∩b=A,lLa,lLb,a,bCa,l⊥a,.折痕与 桌面垂直 第9题答图 第10题答图 10.60°或120°【解析】如图，：E,F,G分别是AB, AC,BD的中点，..EG∥AD,EF∥BC.∠FEG为异面直线 AD与BC所成角或其补角..AD与BC所成的角为60°， ∠FEG为60°或120°. 11.垂【解析】设O是P在底面ABC上的射影，连接 AO,BO.PB⊥PA,PB⊥PC,.PB⊥平面PAC,PB⊥AC 又.O是P在底面ABC上的射影，∴PO⊥平面ABC, P0⊥AC,AC⊥平面PB0,AC⊥B0.同理，可得 AO⊥BC,.O是△ABC的垂心. 12.证明：(1).·在正方体ABCD4BCD1中，可知 AB∥AB,而AB￠平面ADCB1,AB,C平面ADCB1, .·AB∥平面ADCB (2).在正方体ABCD-ABC1D1中，可知AB1⊥平面 BBC,C,且BC1C平面BBCC,AB1⊥BC又BC,BC 是正方形BBCC的对角形，因此BC1⊥BC,又，AB∩ BC=B1,且AB1,BCC平面ADCB,.BC⊥平面ADCB. 13.证明：(1)取PC的中点N,连接MW,WD,:M, N为PB,PC的中点，MNL}BC,由已知ADL)BC, MN LAD,故四边形AMND为平行四边形，AM∥ND. .AM丈平面PCD,NDC平面PCD,.AM∥平面PCD. 91 N高中数学必修第四册人教B版 第13题答图 (2).PA⊥底面ABCD,ACC底面ABCD,.'AC⊥PA, 由题意，知底面ABCD为直角梯形，AD=CD=1,AC=V/2. 又由AB=V2,BC=2,则BC=AC2+AB2,.AC⊥AB.又 ·.PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,AC⊥平面PAB. 14.2【解析】连接AQ,.PA⊥平面ABCD,.∴.PA⊥ QD.又PQ⊥QD,PA∩PQ=P,∴QD⊥平面PAQ,AQ⊥ QD,即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC的中点，只有 一个，故BC=2AB=2. 15.线段CB1【解析】如图， 先找到一个平面总是保持与BD1垂 直，连接AC,AB,B,C,AD在 正方体ABCD-ABCD1中，.BC1⊥ BC,AD1∥BC,∴.B,C⊥AD又 4 BC⊥AB,AB∩AD1=A,.BC⊥ 第15题答图 平面ABD1,BD⊥CB,同理，BD1⊥AC.且CB∩AC=C, :.BD1⊥平面ACB.又点P在侧面BCCB1及其边界上运动， 根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB,与平面 BCCB,的交线段CB. 第2课时直线与平面垂直的性质定理 1.C【解析】垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 故选C 2.C【解析】根据直线与平面所成角的定义，可知斜 线与平面所成角0的取值范围为0°<0<90° 3.C【解析】直线a⊥平面，直线bC平面a, 根据线面垂直的定义，∴a上b,其他选项不一定成立.故 选C. 4.C【解析】如图，作P0⊥平面 ABC,连接OM,过点M作直线MN∥ AB交AC于点N,连接PN,则∠PMO 是直线PM与平面ABC所成角，： ∠PM03e[O,受]，∠PMN是直线 PM与AB所成角，.∠PMN=Q∈ B [O,],在Rt△POM和Rt△PMW 第4题答图 中，易知PW≥PO,仅当O,N重合时等号成立，故sina= 微≥册p,a≥a故选C 92 N 5.C【解析】设圆锥的底面半径为R,母线长为， .:圆锥的侧面积是底面积的2倍，·.πRl=2πR2,解得l=2R, 设该圆锥的肆线与底面所成角，则c0a=片=子a=号 故选C 0 R 第5题答图 6.B【解析】当mC平面a也可以有m⊥l,但m不平 行于平面α，故①错；根据线面垂直的性质定理，可知② 正确；根据线面平行的性质定理，可得存在nCa且m∥n. 而直线l⊥平面a,故可根据线面垂直的性质，得出l⊥n, 故l上m正确；根据直线l上平面x,可在平面a内找到两 条相交直线p,n,且lLp,l上n,又m∥l,所以m⊥p, m⊥n,故根据线面垂直的判定定理可知，m⊥a正确.即② ③④正确.故选B. 7.BC 8.④【解析】如图1， a⊥b, 直线a与平面a可能平 lb⊥a. 行，也可能在面内，故①错误 如图2， fa⊥b, lb∥a, 直线a与平面a可能垂直，也可能平 行，故②错误. 图1 图2 如图3， 1a∥b, 直线a与平面a可能平行，也可能在 lb∥a, 面内，故③错误」 a//b, 如图4， 可以得到直线a与平面α垂直，故④ b⊥a. 正确。 图3 图4 第8题图 9.45°【解析】PA⊥底面ABC,∠PCA或其补角即 为直线PC与平面ABC所成的角.PA=AC,.△PCA为等 腰直角三角形，∴.∠PCA=45. 10.2Y5【解析】AD,∥AD,BC∥AD,AD,∥ 5 BC.又BCC平面BCE,ADt平面BCEE,AD∥平面 BCE,AD到平面BCE的距离即为点D,到平面BCE的 距离.设点D,到平面BCE的距离为d,连接CA,CD.由 Va0aa,得号Sad=号5eaBC,d= S△cm·BC 2V/5 S△BE 22xV2 5 11.V3【解析】如图，作 6 S0⊥平面ABC于点O,则∠SAO为 SA与底面ABC所成角.在Rt△ASO A二 -0 中，A0=写，则cos∠M049 SA 3 第11题答图 6 12.(1)证明：设AC∩BD=0, 连接OM,:在四棱柱ABCD-A1BCD1 A 中，四边形ABCD是正方形，.O为 BD中点.又M为DD1中点，.OM∥ BDL.又OMC平面AMC,BD1丈平面 AMC,.BD1∥平面AMC. D+ (2)证明：在四棱柱AC中， DD,⊥平面ABCD,又ACC平面 第12题答图 ABCD,DD1⊥AC.又在正方形ABCD中，BD上AC,且 DD1⊥AC,DD1∩BD=D.DD1C平面BDDI,BDC平面BDD1, AC⊥平面BDD又BD1C平面BDD,'AC⊥BD (3)解：令点D到平面MAC的距离为h,VA=Vc, 即号Sach=号DM..AB=l,AA=2,M是DD,的中 点，AM=MC=V2,AC=V2,即S=V3x(V2片 3,Y3h=号xIxIx1,解得h=3,即点D到平 2 2 3 面MAC的距离为Y3 3 13.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， 且M是AD的中点，.MB⊥AD,MB⊥BC.PM⊥平面 ABCD,又BCC平面ABCD,PM⊥BC.而PM∩MB=M, PM,MBC平面PMB,.BC⊥平面PMB. 参考答案。 (2)解：过点B作BH⊥MC于点H,连接HN,PM⊥ 平面ABCD,BHC平面ABCD,.BH⊥PM.又.PM,MCC 平面PMC,PMOMC=M,∴BH⊥平面PMC,∴.∠BWH为直 线BN与平面PMC所成的角.在菱形ABCD中，设AB=2a,则 MB=AB·sin60°=V3a,MC=VDMP+DC2-2DM·DC.cos120°= V7a.又由(1)，知MB⊥BC,.在△MBC中，BH= 2aV3a=2Y2Ia,由(I),知BC⊥平面PMB,PBC平 VTa 7 面PMB,,PB LBC,BN=之PC=4a,sin∠BNH= 2V2 BH 7 BN 14 a -2Y6,os∠BNH=号 7 2 14.ABC【解析】AB为⊙O的直径，.BC⊥AC.又 PA⊥⊙O所在的平面，∴.PA⊥BC..PA∩AC=A,.BC⊥平 面PAC..AFC平面PAC,.BC⊥AF又AF⊥PC,PC∩ BC=C,∴AF⊥平面PBC.PBC平面PBC,∴AF⊥PB,A, C正确.又.AE⊥PB,AF∩AE=A,∴.PB⊥平面AEF..EFC 平面AEF,∴EF⊥PB,B正确.假如AE⊥平面PBC,则 AE⊥BC.又·BC⊥AC,连接EC(图略)，则BC⊥平面 AEC,这与BC⊥平面PAC矛盾，D错误. 15.①③【解析】对于①，：PA⊥平面ABC,PA⊥ AE.又EA⊥AB,PA∩AB=A,∴EA⊥平面PAB,从而可得 EA⊥PB,故①正确.对于②，由于在正六边形中BC∥AD, BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，∴ 直线BC与平面PAE不平行，故②不正确.对于③，由条件 得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD,又PA=2AB=AD, ∠PDA=45°，故③正确. 11.4.2平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 1.C【解析】直线l1平面α，lC平面B,根据面面 垂直的判定定理，可得⊥B,即a与B的位置关系是垂直. 故选C 2.C【解析】由面面垂直的判定定理，知任何过l的平 面都垂直于平面，.这样的平面有无数个.故选C 3.C【解析】当平面α和B分别过两条互相垂直且异 面的直线时，平面α和B有可能平行，故A不正确；一条 直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由 平面与平面垂直的判定定理，知B,D均不正确，C正确。 故选C. 4.D【解析】如图，在长方体中，侧棱与底面都是垂 直的，所以侧面与底面ABCD垂直.平面AABB1、平面 93