9.1.1 第1课时 正弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

9.1.1 第1课时 正弦定理 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中，a=4，A=45°，B=60°，则边b的值为 (　　) A.+1 B.2+1 C.2 D.2+2 解析:选C　由已知及正弦定理，得=， ∴b===2. 2.在△ABC中，已知A=，a=，b=1，则c的值为 (　　) A.1 B.2 C.-1 D. 解析:选B　由正弦定理=，得=，∴sin B=.由a>b，得A>B，∴B=，故C=，由勾股定理得c==2. 3.已知△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形 (　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:选C　由正弦定理和已知条件得=，∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. 4.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 (　　) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= 解析:选ACD　由正弦定理易知A、C、D正确.由sin 2A=sin 2B，可得A=B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∴a=b或a2+b2=c2，B错误. 5.(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，sin B=sin 2A，则 (　　) A.sin B= B.cos A=- C.c=3 D.S△ABC=2 解析:选ACD　因为sin B=sin 2A，所以sin B=2sin Acos A，b=2acos A.又a=3，b=2，所以 cos A=，sin A=，sin B=.又b<a，所以cos B=，cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A，所以c=a=3，S△ABC=bcsin A=×2×3×=2.故选A、C、D. 6.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C=，c=，a=x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是 (　　) A. B.(，2) C.(1，2) D.(1，) 解析:选B　在△ABC中，根据正弦定理=，即=，所以sin A=x，由题意可得，当A∈时，满足条件的△ABC有两个，所以<x<1，解得<x<2.则x的取值范围是(，2).故选B. 7.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5，则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4，则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点，满足+2+=0，则△APB与△BPC的面积相等 解析:选ABD　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5，A正确；由A知a∶b∶c=3∶4∶5，故a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，B正确；由B知，sin B=，又b=4，由正弦定理得2R===5，故△ABC外接圆半径为R=，C错误；取AC的中点E，则+=2，因为+2+=0，所以=-，即P点在AC的中线上，故△APB与△BPC的面积相等，D正确. 8.(5分)在△ABC中，B=45°，b=，a=1，则A=　　　　.  解析:由正弦定理得，=，解得sin A=，所以A=30°或A=150°.又b>a，所以B>A，则A=30°. 答案:30° 9.(5分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC外接圆的面积为4π，请写出一组满足上述条件的边和角:a=　　　　，A=　　　　.  解析:依题意，△ABC的外接圆半径R=2，由正弦定理得=2R=4，即a=4sin A，又0<A<π，取A=，则a=2. 答案:2　(答案不唯一) 10.(5分)在△ABC中，若BC=，sin C=2sin A，则AB=　　　　.  解析:由正弦定理，得AB=BC=2BC=2. 答案:2 11.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B+cos B=，则角A的大小为　　　　.  解析:由sin B+cos B=，1+sin 2B=2，所以sin 2B=1，所以B=45°.由正弦定理=，得sin A===.又a<b，所以A<B，所以A=30°. 答案:30° 12.(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=，b=1，C=120°，求: (1)角B；(5分) (2)△ABC的面积S.(5分) 解:(1)由正弦定理=，得sin B==. 因为在△ABC中，b<c且C=120°，所以B=30°. (2)因为A+B+C=180°，所以A=180°-120°-30°=30°.所以S=bcsin A=. 13.(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，且bsin 2A=asin B. (1)求A；(4分) (2)若sin B=，求c.(6分) 解:(1)由bsin 2A=asin B，则2sin Bsin Acos A=sin Asin B，在△ABC中，有sin A>0，sin B>0，故cos A=，又A∈(0，π)，∴A=. (2)∵sin B<sin A，∴B<A=， ∴cos B==.∵A+B+C=π， ∴sin C=sin(A+B)=×+×=.由正弦定理得c==3××=. 14.(15分)在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，△ADC是△ABD面积的倍. (1)求的值；(6分) (2)若A=30°，AB=1，求AD的值.(9分) 解:(1)因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，所以===. (2)因为A=30°，所以C=150°-B，由(1)得====，所以sin B=cos B+sin B， 即sin B=-cos B，得tan B=-， 易得B=120°.因为AD平分∠BAC，所以∠ADB=30°+15°=45°. 因为AB=1，由正弦定理知=，即=，解得AD=. 15.(15分)在△ABC中，A=α，b=m.分别根据下列条件，求边长a的取值范围. (1)△ABC有一解；(9分) (2)△ABC有两解；(3分) (3)△ABC无解.(3分) 解:(1)由正弦定理=可得，sin B==. ①当a<b，即a<m时，sin B=>sin A. 若sin B>1，即>1，则B不存在，△ABC无解，此时a<msin α； 若sin B=1，即=1，B=，△ABC有一解， 此时a=msin α； 若sin B<1，即<1，因为sin B>sin A，此时 B可能是锐角或钝角，即△ABC有两解，此时a>msin α，即msin α<a<m. ②当a=b，即a=m时，sin B==sin A，△ABC有一解； ③当a>b，即a>m时，sin B=<sin A， 此时B只能是锐角，△ABC有一解. 综上所述，当△ABC有一解时，边长a的取值范围是a=msin α或a≥m. (2)由(1)知，当△ABC有两解时，msin α<a<m. (3)由(1)知，当△ABC无解时，a<msin α. 学科网（北京）股份有限公司 $