第九章 专题微课 解三角形及其综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦解三角形及其综合问题核心知识点，系统梳理正余弦定理应用，构建从平面几何结合、基本不等式求最值到三角函数性质求范围的知识支架，通过多个三角形拆分、边角关系转化等策略串联解题思路。 该资料突出学科素养融通，以数学建模处理实际问题，直观想象辅助图形分析，结合例题解析、思维建模及针对训练，培养逻辑推理与运算能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾总结，弥补知识盲点。

专题微课　解三角形及其综合问题 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显,正符合了数学建模的核心素养;解决此类问题的关键是能作出示意图,故涉及直观想象的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形,根据图形运算求解体现了数形结合的思想. (2)用向量法推导正弦定理时,可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得,用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想. (3)在求解三角形中的边角问题时,用到函数与方程思想. 题型(一)　解三角形与平面几何相结合　　　 [例1]　如图，四边形ABCD的内角B+D=π，AB=6，DA=2，BC=CD，且AC=2. (1)求B； (2)若点P是线段AB上的一点，PC=2，求PA的值. 解:(1)设BC=CD=x>0， 在△ABC中，由余弦定理， 得AC2=36+x2-2×6xcos B=28， 即x2+8=12xcos B，　① 又在△ACD中，由余弦定理， 得AC2=4+x2-2×2xcos D=28， 即x2-24=4xcos D，　② 因为B+D=π， 则cos D=cos(π-B)=-cos B， 联立①②可得，x=4，cos B=， 因为B∈(0，π)，所以B=. (2)在△PBC中， 由正弦定理知，=， 所以sin∠BPC===1， 且0<∠BPC<π， 故∠BPC=，在Rt△PBC中， 由勾股定理知，PB==2， 此时PA=AB-PB=4. |思|维|建|模| 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.　 　　[针对训练] 1.如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC=DC. (1)若∠DAC=30°，求∠ADC的大小； (2)若BD=2DC，且DC=1，求AD的长. 解:(1)在△ADC中，由正弦定理得=，所以sin∠ADC==×=，又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60°>60°，所以∠ADC=120°. (2)由BD=2DC，且DC=1知BC=3，AC=， 所以直角三角形ABC中，cos C==， 在△ADC中，由余弦定理得 AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C=()2+12-2×1×=2，所以AD=. 题型(二)　利用基本不等式解三角形中的最值范围问题 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例2]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，有=. (1)若A=，求B； (2)若b=，求△ABC面积的最大值. 解:(1)在△ABC中，A=⇒sin A=，cos A=. ∵=，则a(1+cos B)=b(-cos A)，由正弦定理得sin A(1+cos B)=sin B(-cos A)，∴=sin B=， 则有1+cos B=sin B，即sin B-cos B=1，∴2sin=1⇒sin=.而B∈(0，π)，当B-=时，解得B=π(与题意不符，排除)； 当B-=时，解得B=，符合题意，∴B=. (2)由(1)知sin A(1+cos B)=sin B(-cos A)， ∴sin B-cos Asin B=sin A+cos Bsin A， ∴sin B=sin A+sin(A+B)=sin A+sin(π-C)=sin A+sin C，由已知及正弦定理得b=a+c⇒a+c=3，而S△ABC=acsin B. 法一　由余弦定理知cos B= ==-1， 其中ac≤=，当且仅当a=c时取等号， 故S△ABC=ac×=ac×， =≤=. 法二　由余弦定理得cos B===-1，化简得=ac，其中ac≤=，当且仅当a=c时取等号， 故cos B≥-1=，S△ABC=acsin B=××sin B==， 令t=1+cos B≥，∴S△ABC=×=×≤×=. |思|维|建|模| 　　运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理.破解此类题通常有以下方法: (1)构建目标不等式.根据题干中得出的等量关系，如相等角、互补角，巧妙运用余弦定理构建等式或用正弦定理转化为边的关系，然后借助不等式知识求最值或范围；或用余弦定理搭桥，实现两个基本量的和与积，平方和与积等的转化. (2)构建目标函数.用正弦定理表示边角关系，通过消元、两角和公式、倍角公式、辅助角公式等建立关于角的函数关系式，再把问题转化为已知角的范围，求三角函数最值或值域问题.　 　　[针对训练] 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=. (1)求C； (2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD=2，求b+4a的最小值. 解:(1)设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得 ccos B+bcos C=2Rsin Ccos B+2Rsin Bcos C=2Rsin(B+C)=2Rsin A=a， 则=可化为=，整理得a2+b2-c2=-ab. 由余弦定理得cos C===-，又0<C<π，所以C=. (2)由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积，得CD·asin+CD·bsin=absin，可得ab=2b+2a，即+=. 则b+4a=2(b+4a)=2×≥2×(5+2)=18，当且仅当即b=6，a=3时，等号成立.故b+4a的最小值为18. 题型(三)　利用三角函数的性质解三角形中的最值范围问题 [例3]　已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-c=2ccos B. (1)求证:B=2C； (2)若a=2，求+的取值范围. 解:(1)证明:因为a-c=2ccos B，由正弦定理得sin A-sin C=2sin Ccos B， 所以sin Bcos C+sin Ccos B-sin C=2sin Ccos B，所以sin Bcos C-sin Ccos B=sin C⇔sin(B-C)=sin C.而0<B<π，0<C<π，则B-C=C或B-C+C=π，即B=2C或B=π(舍去)，故B=2C. (2)因为△ABC是锐角三角形，所以 解得<C<， 所以cos C的取值范围是<cos C<.由正弦定理可得=，则b=·c=·c=2cos C·c，所以=，所以+=.因为a-c=2ccos B，所以2-c=2ccos 2C，所以c=，所以+====.因为cos C∈，所以4cos2C-1∈(1，2)，所以+=的取值范围为. |思|维|建|模| 　　如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 　　[针对训练] 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin=asin C. (1)求角A； (2)若a=，求△ABC周长的取值范围. 解:(1)因为csin=asin C， 所以csin=ccos=asin C. 由正弦定理可得sin Ccos=sin Asin C.又C为三角形内角，sin C≠0， 所以cos=sin A=2sincos.因为A∈(0，π)，∈，cos>0， 所以sin=，可得=，所以A=. (2)由(1)知A=，又a=，由正弦定理得===2，则b=2sin B，c=2sin C， 所以a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin=+2sin B+2=+2sin B+cos B+sin B =+3sin B+cos B=+2sin.因为B∈， 所以B+∈，所以sin∈，2sin∈(，2]， 所以a+b+c∈(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $