10.1.1 复数的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

化简，得acsin B=一√3 aceos B, AB-2h" 2ABX√2h co5∠PBC= PB+BC-PC 号+A世 2PB·BC 2/2hXAB 即tanB=一√5.因为B∈(0，x), 因为∠PBA+∠PBC=π，故cos∠PBA+cOs∠PBC= OS∠PBA+Os(x-∠PBA)=0,即AE-2k 所以B-警因为2， 2ABX√2h 所以cosB=+c-12=-1 2ac 21 号公+A 化简，得a+C2=12-ac,由基本不等式，得a+2≥2ac, =0,可得6-9AB=9×20y6-9 2 9 3 当且仅当a=c时，等号成主， 22hXAB 即12-ac≥2ac,所以ac≤4，此时a=c=2. 4.解选①： cosC=一2a十c,即(2a+c)cosB=-bcos C,由正弦定 cos B b 又因为sinB=尽」 2 a 理sinA=sinB=snC,得(2sinA+sinC)cosB 则△ABC的面积S=宫4s血B≤号××复=后，故 2 =-sin Bcos C, △ABC的面积S的最大值为√3. 化简，得2 sin Acos B=-(sin Bcos C+-sin Ccos B). 综上所迷，选①或②选③时，△ABC的面积S的最大值 因为sin Bcos C+sin Ceos B=sin(B+C)=sinA, 均为√5. 所以2 sin Acos B=一sinA. 又因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 第十章 复 数 化简，得c0sB=一子国为BE(0,, 10.1 复数及其几何意义 所以B=系因为6=2， 所以oB-牛业-名 10.1.1复数的概念 2ac 【自主学习探新知】 化简，得a2+c2=12-ac. 知识点一1.(1)虚数单位一1(2)ab 由基本不等式，得a十c≥2ac, 2.(1)所有复数 当且仅当a=c时，等号成立，即12-ac≥2ac, 微练习 所以ac≤4，此时a=c=2.又因为inB= 2 1.A一√5+2i的虚部为2，w5i+2=-2+5i,其实 部为一2，故所求复数为2一2i 1 则△ABC的面积S= =√3 2 知识点二1.实数虚数a=0a≠0 故△ABC的面积S的最大值为√3. 微练习 选②： 2.C号i,1-月i是纯虚数，2+70,0.618是实数， sin A b+c sin B-sin C a+c' 8+5i是虚数. 由正孩定理a b a=b+c 知识点三a=c且b=d 里in A sin B-snC得6二ca+2 微练习 即a(a+c)=(b+c)(b-c), 3.B由i=-1,得xi-=1十xi,则由题意，得1十xi 化简，得a2+c2=6-ac. =y十2i,根据复数相等的充要条件，得x=2,y=1,故 因为b=23,所以a2+c2=12-ac. x+yi=2+i. 由基本不等式，得a2十c2≥2ac, 【互动探究解疑难】 当且仅当a=c时，等号成立， 探究一 即12一ac≥2ac,所以ac≤4， [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数：②的实部为 此时a=c=2.又因为cosB=g十c-& 2ac 2 一3，虚部为号，是虚数③的实部为2，虚部为1，是虚数 所以如B=9,则△ABC的面软S=。 ④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为 acsin B≤X 一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，直部为0，是实数 [跟踪训练] L.BCD对于A,当a=0时，a十bi也可能为实数：对于B, 故△ABC的面积S的最大值为√3. 若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1;易知C正确：对 选③： 于D,i的平方为一1. 2S=-3BA·BC. 探究二 即2×acsin B=-5 BAIIBCcos B, [例2](1)[解析]由复数相等的充要条件可知x -12,y=5. 其中|BA|=c,BC1=a, [答案]-125 8 (2)汇解]根据复数相等的充要条件， 知识点二2.|x|或la+i3.|a 由(2x-1)+i=y-(3-y)i, 微判断 2x一1=y,、解得 5 (1)×(2)×(3)√ 得1=-(3一， x=2即x=是y=4 5 【互动探究解疑难】 y=4. 探究一 [跟踪训练] [例1][解]因为x是实数，所以x2+x一6，x2一2x 2.解由复数相等的充要条件，得2红十8y=14, 15也是实数. x-6y=-13, 解得/x=一1， 即一3<x<2时，点 ly=2. 1D当实数x满足T+x-6<0, 1x2-2x-15<0, 探究三 Z位于第三象限。 [例3][解](1)若复数是实数，粥m-3m-18=0, m+3≠0， (2)当实数x满足+x-6>0, x2-2x-15<0 即2<x<5时，点Z 即m二二3或m=6”得m=6. 位于第四象限 m≠一3， (3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, m2-3m-18≠0， 即3x+6=0,x=-2时，点Z位于直线x-y-3= (2)若复数是虚数，则 m十3≠0， 0上. 中m≠-3且m≠6”对m≠一3且m≠6， [跟踪训练] m≠一3， 1.解(1)由m一2m一15>0，得m<-3或m>5, 2m2+m-3=0, 所以当m<一3或m>5时，复数之对应的点在x轴 (3)若复数是纯虚数，则m十3≠0， 上方 m2-3m-18≠0， (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,即2m2+ m=1或m=-2 3 3m-5=0, 则 m≠一3， 即m=1或m=一之 3 得m=1或m=一营，所以当m=1或m=一号时， m≠一3且m≠6， 复数x对应的点在直线x十y十4=0上， [跟踪训练] 探究二 3.解x=(1+i)m+(2i十1)m-2-3i= m+m'i+2mi+m-2-3i [例2][解](1)设向量OB对应的复数为 =(m2+m一2)+(m2+2m一3)i= 名=x1十yi(x1,少∈R),则点B的坐标为(x1y) (m-1)(m十2)十(m-1)(m+3)i. 由题意可知，点A的坐标为(2,1). (1)由(m一1)(m+3)=0,得m=1或m=一3， 根据对称性可知x=2,y1=一1，故名=2-i 即m=1或一3时，x为实数. (2)设点C对应的复数为z=x十y2i(工1，y∈R),则点 (2)由(m一1)(m十3)≠0，得m≠1且m≠一3， C的坐标为(x1,y2). 即m≠1且m≠一3时，x为虚数. 由对称性可知工1=一2，y2=一1，故马=一2-i （3)由(m-1)m十2)二0得m=-2,即m=-2时，z [跟踪训练] 1(m一1)(m十3)≠0， 2.B向量OA,OB对应的复数分别为2-31，-3十2i,根据 为纯盛数， 【随堂巩固促应用】 复数的几何意义，可得向量OA=(2,一3)，OB= 1.B复数i的实部和虚部分别是0,1. (一3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA=OA 2.C依题意x+y十(x-y)i=2,所以z十y=2, →x=y 0B=(2十3，-3-2)=(5，-5)，根据复数与复平面内 lx-y=0 =1→xy=1. 的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5一5i. 3.D根据虚数的定义得3是实数，不是虚数：4i,一1一i, 探究三 √2+2i是虚数，所以虚数的个数是3个 [例3][解]由题意可知Z1(3,4),又固为Z1与Z关 4B由之为绝虚教，得m90解得m=3. 于虚轴对称，所以Z(一3,4)，从而有=一3十4i, m+3≠0， 因此名2=√（-3)+4=5. 10.1.2复数的几何意义 又因为10Z,1=z11=√3+4=5,10Z21=|z41=5, 【自主学习探新知】 所以10Z1=02l. 知识点一1.实轴虚轴2.(1)相等互为相反数 [跟踪训练] 微思考 m-2m-8<0, 3.解(1)选择①：x<0,则 解得m■2. [思考][提示]不正确.实轴上的点都表示实数，除 m2-4=0, 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序 选择②：x为虚数，则m2一4≠0，解得m≠士2. 实数对为(0,0)，它所确定的复数是之=0十0i=0,表示 选择③：x为纯虚数，则m一2m一8=0且m一4≠0，解得 的是实数 m=4. 9第十章 复数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 [学习任务] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一复数的有关概念 (b=0), 1.复数 「纯虚数 (b≠0) (1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a 非纯虚数 +bi为复数.其中i称为 ,满足严 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 由数集 (2)表示方法：复数一般用小写字母之表示， 复数集 纯虚数集 实数集 即x=a十bi(a,b∈R),其中a称为g的实 部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)= 飞微练习 ,Im(z)= 2.在2+7，号i,0,8+5i,(1-3)i,0.618这 2.复数集 (1)定义： 组成的集合称为复数集. 几个数中，纯虚数的个数为 () (2)表示：通常用大写字母C表示，因此C= A.0 B.1 C.2 D.3 {xlx=a+bi,a,b∈R}. 知识点三复数相等的充要条件 《微练习 如果a,b,c,d都是实数，那么a十bi=c十di 台 .特别地，当a,b都是实数时，a 1.以一√5+2i的虚部为实部，以5i十2i的实 十bi=0的充要条件是a=0且b=0. 部为虚部的复数是 () 《微练习 A.2-2i B.2+2i 3.若xi一i=y十2i,x,y∈R,则复数x十yi C.-/5+√5i D.5+√5i 等于 () 知识点二复数的分类 A.-2+i B.2+i 1.复数z=a十bi(a,b∈R) C.1-2i D.1+2i 20 第十章复数 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一复数的概念 探究二 复数相等的充要条件及应用 [例1]请写出下列复数的实部和虚部，并判 [例2](1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x= 断它们是实数、虚数，还是纯虚数， y= ①2+3i:②-3+2i,③2+i,④x:⑤-3i: (2)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y ∈R,i为虚数单位.求实数x,y的值 ⑥0. -川规律方法川 解决复数相等问题的步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式： (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）： (3)解方程（组）. 口跟踪训练 2.已知(2x+8y)+(x-6y)i=14-13i,求实 数x,y的值. 1规律方法川 复数a十bi(a,bER)中，实数a和b分别称为复数 的实部和虚部，特别注意，b为复数的虚部而不是虚部 的系数，山连同它的符号称为复数的虚部， 口跟踪训练 1.(多选)对于复数a十bi(a,b∈R),下列说法 正确的是 () A.若a=0,则a十bi为纯虚数 B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1 C.若b=0,则a十bi为实数 D.i的平方等于-1 21 》高中数学·必修第四册(RJB) 探究三复数的分类 口跟踪训练 [例3]实数m分别为何值时，复数之= 3.(2022·金华高一月考)m为何实数时，复数 2m2+m-3+(m2-3m-18)i是： x=(1+i)m2+(2i+1)m-2-3i是： m十3 (1)实数： (1)实数： (2)虚数： (2)虚数； (3)纯虚数. (3)纯虚数. 川规律方法川 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a十 bi(a,b∈R)的形式，以确定实部和虚部， (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实 部与虚部应该满是的条件问题，只智把复数化为代数 形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可. (3)下结论：设所给复数为x=a十bi(a,b∈R), ①x为实数曰b=0. ②x为虚数白b≠0. ③z为纯虚数曰a=0且b≠0. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.复数i的实部和虚部分别是 3.给出下列复数：3,4i,一1一i,√2+2i其中是 A.0,0 B.0,1 虚数的个数是 () C.1,1 D.1,0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2022·永泰高一月考)若实数x,y满足x 4.若复数x=(m2一9)十(m十3)i(m∈R,i为虚数 +y+(x-y)i=2,则xy的值是( 单位)是纯虚数，则实数m的值为() A.-2 B.2 A.-2B.3 C.-3 D.士3 C.1 D.-3 提示请完成《素能提升训练》训练五 22