10.1.1 复数的概念（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 ②法一 第一步：计算AM在△ABM中由正弦定理得 dsin a2 AM= sin(a1十a2) 第二步：计算AN,在△ABN中，由正弦定理得 AN= dsin B2 sin(32-)9 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 MN=AM2+AN2-2AMX ANcos(a1-B1 ) 法二第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得 dsin a BM-sin(aa) 第二步：计算BN,在△ABN中由正弦定理得 dsin月 BN=sin(2B) 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 MN=/BM2+BN2-2BMX BNcos(82+a2). 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 课前预习学案 情境引入 提示若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数则无 法比较大小 知识梳理 知识点一、1.全体复数2.之 知识点二、a=c且b=d [思考] 「提示]两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等 的关系，而不能比较它们的大小 知识点三、1.b=0b≠0a=0且b≠0 预习自测 1.C[一2i的实部为0，虚部为一2.] 2.D[由复数虚部定义可知，1一i的虚部为一1.故选D.] 3.B[对于A,当a=0,b≠0，b∈R时， 复数a十bi是纯虚数，命题错误； 对于B,当x=1时，复数之=2i是纯虚数，命题正确： 对于C,(x2一4)十（x2十3x十2)i是纯虚数，则 (x2-4=0, {x2+3x+2≠0， 即x=2,命题错误： 对于D,复数之=a十bi,a,b未注明为实数，错误.] 4.解析：由a-2i=bi十1，所以a=1,b=-2, 所以a2+b2=5. 答案：5 5.解析：根据复数相等的充要条件有 十y-2=0:.{=3 x-y-4=0,“1y=-1. 答案：3一1 课堂互动学案 [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部 为-3，虚部为？，是虚数：⑧的实部为厄，虚部为1，是虚 数；④的实部为π，虚部为0，是实数：⑤的实部为0，虚部 为一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 变式训练 1.解：在有理数集中：x4一25=(x2十5)(x2一5) 在实数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)·(x十√5) (x-√5).在复数集中：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2十 5)·(x+5)(x-√5)=(x+√5i)(x-√i)(x+5)(x-√5). ·9 [例2】[解11)由m士m6=0:得m=2. {m+3≠0， 所以当m=2时，之是实数. （2)由m士m6≠0'得{m≠2且m≠一3·即m≠2且 1m+3≠0， (m≠-3， m≠一3.所以当m≠2且m≠一3时，之是虚数. m2+m-6≠0， m≠2且m≠-3， (3)由{m+3≠0， 得{m≠-3， 即m=3或 (m2-7m+12=0, （m=3或m=4, m=4.所以当m=3或m=4时，之是纯虚数. 变式训练 2.解：，之=(m2-3m)十(m2-m-6)i, .(1)当m满足m2-m-6=0,即m=-2或m=3时， 之为实数 (2)当m满足m2一m一6≠0，即m≠一2且m≠3时，之为 虚数 (3)当m满足-m6关0，即m=0时，之为纯虚数。 [例3][解] (1)由复数相等的充要条件，得 1 x十y=0:解得 T= 2 (y=x+1, 1 y=2 (2)因为a,m∈R,所以由a2+am十2+(2a十m)i=0,可 得十am+2=0·解得{a=区，支a=区 2a+m=0, (m=-22m=2√2， 所以a=士√2.(3)设方程的实根为x=m, 则原方程可变为3m2-号m-1=(10-m-2m2)i, 3m-受m-1=0解得a=11或a=-号 所以 （10-m-2m2=0, 变式训练 3.解：x2-y2十2.xyi=2i, 会部路 1y=1,y=-1. 随堂步步夯实 1.B [.CcQ=SUP,C cP=R,RUP=C, ..(C cQ)U(C cP)=C.] 2.D[由复数相等的充要条件知， ￥0y=.x+y=02*+y=20=1,] 红十=0解得红=1 x-1=0, 3.解析：由a2-3a十2=0且a-1≠0，得a=2. 答案：2 4.解析：√2+2i的虚部为2,4i一1的实部为一1，故新复数为 之=2-i. 答案：2一i 5.解：1<之2之122均为实数，且1的实部小于2的 实部， /m2-3m=0, m=0或m=3, ∴.{m2-4m十3=0，解得m=1或m=3, m2<10, (-√10<m<√10， .m=3,故实数m的取值范围是{mm=3. 10.1.2复数的几何意义 课前预习学案 情境引入 提示任何一个复数之=a十bi,都和一个有序实数对(a, b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之 间可以建立一一对应.第十章复数 第十章 复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 课程标准 素养解读 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复 通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养. 通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运 数的基本概念及复数相等的充要条件， 算素养. 课前。预习学案 [情境引入] 2思考 复数能比较大小吗？ 希望工程举行中学生夏令 营，来到海滨城市青岛一天，张明 与王华面对着广阔的大海，有一 番耐人寻味的对话」 知识点三]复数的分类 张明：海纳百川，心阔容海.海、心 1.对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当 时，它是 孰大？ 实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数.这 王华：夸张的手法，不可比较 样，复数x=a十bi(a,b∈R)可以分类如下： 张明：那么数m,n可否比较大小？ 王华：未必 复数佳致当。=时为建 问题同学们，你能准确回答张明的问题吗？ 2.集合表示： 虚数集 复数集 纯虚数集 实数集 [预习自测] 1.复数-2i的实部与虚部分别是 [知识梳理] A.0,2 B.0,0 [知识点一]复数的有关概念 C.0,-2 D.-2,0 1.定义：形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫 2.复数1-i的虚部为 做虚数单位 所成的集合C={a+bila∈ A.i B.-i C.1 D.-1 3.下列命题正确的是 R,b∈R}叫做复数集， A.复数a+bi不是纯虚数 2.复数通常用字母表示，代数形式为之=a+bi B.若x=1,则复数之=(x2一1)十(x十1)i是纯 (a,b∈R),其中a与b分别叫做复数之的实部与 虚数 虚部. C.若(x2一4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x [知识点二]复数相等 =土2 D.若复数x=a十bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 在复数集C={a十bia,b∈R}中任取两个数a+bi, 4.若a-2i=bi十1，a,b∈R,则a2+b2= c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与c+di相等 5.若(x+y-2)+(x-y-4)i=0(x,y∈R),则x= 当且仅当 ,y= ·15· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 题型一 复数的概念 ◇[变式训练] [例1] 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是 2.当m为何值时，复数x=m(1+i)-m(3+i)一6i, 实数，虚数，还是纯虚数 m∈R,是实数？是虚数？是纯虚数？ ①2+3i:②-3+7i:③2+i:④x:⑥-i:⑥0. [思路点拨了复数之=a十i(a,b∈R)其中a为 实部，b为虚部。 [尝试解答] 题型三 两个复数的相等 [例3] (1)若(x十y)十yi=(x十1)i,求实数x,y 的值. 规律方法 (2)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，求 复数a十bi(a,b∈R)中.实数a和b分别叫做复数 实数a的值， 的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是 (3)若关于x的方程3x2一 2x-1=(10-x-2x2)i 虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 有实根，求实数a的值. ⊙[变式训练] 思路点拨]第()小题中出现复数的等式，应转 1.请分别在有理数集、实数集、复数集中分解因 化为两个复数相等的问题来解决：第(2)小题只需 式x4-25. 将0看作0十0i即可转化为复数相等的问题；对 于第(3)小题，先设出方程的实根，然后代入，最后 转化为复数相等的问题， [尝试解答] 题型 复数的分类 [例2] 当实数m为何值时，复数x=(m+m一6)i 规律方法 +m-7m十12是：)实数：(2)虚数；(3)纯虚数. m+3 求解复数相等问题 [思路点拨]因为m是实数，所以m2十m一6， 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的 也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复 m-7m+12都是实数.把它们分别看成一个整 m+3 数相等的充要条件.基本思路是： 体，就是复数的虚部与实部，则复数之= (1)等式两边整理为a十bi(a,b∈R)的形式； m2-7m+12+(m2+m-6)i就化成x=a十bi(a, (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数 m+3 等式所组成的方程组； bER)的形式.根据复数的分类即可确定m的取值. (3)解方程组，求出相应的参数， [尝试解答] ⊙[变式训练] 3.已知x2-y十2xyi=2i,求实数x,y的值. 规律方法 复数的分类是由复数的实部与虚部的取值来决定 的，在复数之=a+bi(a,b∈R)中：当b=0时，之为 实数；当b≠0时，之为虚数；特别地，当a=0且b 卡0时，之为纯虚数.在解题时，应先分清复数的实 部与虚部，再根据复数的分类，列出关于参数的方 程（组）或不等式（组）求解. ·16· 第十章复数 ● 随堂。步步夯实 --● 1.已知全集C={xx是复数}，Q=〈xx是有理数}， 5.已知之1=m2-(m2-3m)i,22=(m2-4m+3)i+10 S={xx是无理数}，R={xx是实数}，P={xz (m∈R).若，<x2,求实数m的取值范围. 是虚数}，那么(CcQ)U(CcP)为 ) A.S B.CC.R D.Q 2.若(x十y)i=x一1(x,y∈R),则2+y的值为( A B.2 C.0 D.1 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a 的值为 ©温馨提 4.以√2+2i的虚部为实部，以4i一1的实部为虚部的 学习至此，请完成配套训练 新复数是 10.1.2 复数的几何意义 课程标准 素养解读 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数 理解复数的代数形式及其几何意义，掌握用向量的模表示 模的运用，共轭复数的概念的理解.体会数学抽 复数模的方法，理解共复数的概念。 象及数学运算素养。 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]复数的几何 、复平面 19世纪末20世纪初，著名 意义 C.F.GAUSS*1777+1855 的德国数学家高斯在证明代数 1.复数集C中的数与复平 实轴 Z:a+bi 基本定理时，首次引进“复数” 面内的点按如下方式建 这个名词，他把复数与平面内 立了 对应关系复 虚轴 的点一一对应起来，创立了复 数之=a十bi二对应复平面内的点Za,b),这是 平面，依赖平面内的点或有向 线段（向量）建立了复数的几何 复数的一种几何意义。 基础 2.复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存 建立了 对应关系（实数0与零向量对应），即 在性”，为进一步研究复数奠定了基础。 复数=a十i二对感平面向量一，相等的向 问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数 量表示同一个复数， 怎样来表示呢？ 2思考1.复数的几何意义需注意哪些问题？ [知识梳理] [知识点一]复平面 一个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ,x轴叫做 ,y轴叫做 ·显然，实轴 上的点都表示 ;除了原点外，虚轴上的点都 表示 ·17