11.4.2 第2课时 垂直关系的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中立体几何中垂直关系的综合应用，系统梳理线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化逻辑，通过垂直关系转化、翻折问题、探索性问题三类题型搭建学习支架，助力学生掌握转化原理与综合问题解法。 资料以拓展融通课与习题讲评式教学为特色，例题设计注重空间观念培养（数学眼光），证明过程强化推理能力（数学思维），思维建模环节用数学语言提炼方法。课中辅助教师引导学生突破难点，课后针对训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　垂直关系的综合问题 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 1.理解并掌握线线垂直、线面垂直及面面垂直的相互转化关系.2.能利用垂直关系解决一些简单的综合问题. 题型(一)　垂直关系的相互转化 [例1]　如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,点E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当点E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形. 证明:(1) 在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA.∵DG,DF都在平面ABC内,且DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC. (2)连接BE并延长交PC于点H.∵点E是△PBC的垂心,∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,∴PC⊥AE.∵AE∩BE=E,∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB. 由(1)知PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC, ∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形. |思|维|建|模| (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此,判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键. (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时,要通过几何图形自身的特点,如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等,得出一些题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.　 　　[针对训练] 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,点E,F分别是CD,PC的中点. 求证:(1)PA⊥平面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明:(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD, 所以PA⊥平面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE, 所以四边形ABED为平行四边形, 所以BE∥AD. 又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD,由(2)知四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD. 因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD, 又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD. 因为点E,F分别是CD,PC的中点, 所以PD∥EF, 所以CD⊥EF, 又EF∩BE=E,EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF, 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD, 所以平面BEF⊥平面PCD. 　　　　　　　　　　　　　　　题型(二)　翻折问题　　　　 [例2]　如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC.求证:BC⊥平面ACD. 证明:如题图(1),在梯形ABCD中,AD=CD=2,∠ADC=90°, 过C作CE⊥AB,E为垂足, ∴四边形AECD为正方形. ∴CE=AE=EB=2.∴∠ACE=∠BCE=45°.∴∠ACB=90°,即BC⊥AC. 如题图(2),平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC=AC, 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC,∴BC⊥平面ACD. |思|维|建|模| 折叠问题的求解策略 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,长度是不变量,而位置关系往往会发生变化. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.进而将其转化为立体几何的常规问题求解.　 　　[针对训练] 2.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向 形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2. (1)求证:AM∥平面BEC; (2)求证:BC⊥平面BDE. 证明:(1) 取EC中点N,连接MN,BN.在△EDC中, M,N分别为ED,EC的中点, 所以MN∥CD,且MN=CD. 又AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB,因此四边形MNBA是平行四边形,所以有BN∥AM.又因为BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC, 所以AM∥平面BEC. (2)在正方形ADEF中,ED⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD, 所以DE⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以DE⊥BC. 在直角梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,可得BC=.在△BCD中,BD=BC=,CD=2, 所以BD2+BC2=CD2.所以BD⊥BC,BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所以BC⊥平面BDE. 题型(三)　垂直关系中的探索性问题 [例3]　 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点. (1)求证:B1D1∥平面A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 解:(1)证明:由直四棱柱,得BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD. (2)证明:因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC,且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D,而MD⊂平面BB1D,所以MD⊥AC. (3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下:取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O,连接OM.因为N是DC的中点,BD=BC,所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面CC1D1D的交线,而平面ABCD⊥平面CC1D1D,所以BN⊥平面CC1D1D.又可证得,O是NN1的中点,所以BM∥ON,且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM⊥平面CC1D1D,因为OM⊂平面DMC1,所以平面DMC1⊥平面CC1D1D. |思|维|建|模| 解决探索性问题的方法 (1)对命题条件的探索的三种途径 ①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性; ③将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. (2)对命题结论的探索方法 从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论. 　　[针对训练] 3.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,AB=2,F是BC的中点. (1)在AD上是否存在点E,使得平面SEF⊥平面ABCD?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由. (2)若△SBC为等边三角形,在(1)的条件下,求直线SE与平面SBC所成角的正弦值. 解:(1)在线段AD上存在点E满足题意,且E为AD的中点. 如图,取AD中点E连接EF,SE,SF,因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.又E,F分别是AD,BC的中点,所以EF∥AB,AD⊥EF.因为△SAD为等腰直角三角形,SA=SD,E为AD的中点,所以SE⊥AD.因为SE∩EF=E,SE,EF⊂平面SEF,所以AD⊥平面SEF.又AD⊂平面ABCD,所以平面SEF⊥平面ABCD.故AD上存在中点E,使得平面SEF⊥平面ABCD. (2)过点E作EG⊥SF于点G,由(1)知AD⊥平面SEF,又BC∥AD, 则BC⊥平面SEF,EG⊂平面SEF,所以BC⊥EG.又SF∩BC=F,SF,BC⊂平面SBC,所以EG⊥平面SBC.所以直线SE与平面SBC所成的角为∠ESG.由△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2,得AD=　　　==4,SE=AD=2.又EF=AB=2,△SBC为等边三角形,BC=AD=4,所以SF=2.在△SEF中,SE=EF=2,SF=2,所以EG==1.所以sin∠ESG==,即直线SE与平面SBC所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $