11.4.2 第1课时 平面与平面垂直的判定-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.4.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 (教师独具内容) 课程标准：从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面垂直的关系，并归纳出平面与平面垂直的判定定理． 教学重点：1.二面角的概念.2.平面与平面垂直的判定定理． 教学难点：1.二面角的求法.2.平面与平面垂直的判定定理的应用． 核心素养：通过平面与平面垂直的判定、二面角求解等问题，提升数学运算素养、逻辑推理素养和直观想象素养． 知识点一　二面角 1．有关概念 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 如图所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β．如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作C－AB－D. 2．二面角的平面角 (1)定义 如图所示，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角． [提醒]　二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角的取值范围是[0，π]． (2)必备的三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直． 3．二面角大小的度量 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小． 平面角是直角的二面角称为直二面角． 4．平面与平面所成的角 一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小． 知识点二　平面与平面的垂直 1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直． 2．符号表示：α⊥β. 3．图形表示 知识点三　平面与平面垂直的判定定理 1．文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．该定理简称为面面垂直的判定定理． 2．符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β. 3．图形表示 1．(面面垂直的判定)已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．无数个 D．不存在 答案：C 2．(二面角的平面角的概念)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 3．(求二面角的大小)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－D的平面角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：B 4．(面面垂直的判定)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有____． 答案：平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD 题型一　求二面角　 　已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求： (1)二面角B－PA－D的平面角的度数； (2)二面角B－PA－C的平面角的度数． [解]　(1)∵PA⊥平面ABCD， ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． 又由题意可得∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°. 即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°. [条件探究]　在本例中，若PA＝AB，二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何求解？ 解：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC.又BC⊥AB，且AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB， ∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角． 在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°. ∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°. 【感悟提升】　二面角大小的求法 (1)作：依据题中的条件作出一平面角； (2)证：证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)； (3)求：求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)． 【跟踪训练】 1.如图，已知D，E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l，求二面角A1－l－D的大小． 解：如图所示，延长DE交A1B1的延长线于点F，连接C1F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线l. 因此所求二面角A1－l－D即为二面角D－C1F－A1. ∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E， ∴E，B1分别为DF，A1F的中点． ∵A1B1＝B1C1＝B1F，∴C1F⊥A1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1，C1F⊂平面A1B1C1， ∴CC1⊥C1F. 又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线， ∴C1F⊥平面AA1C1C. ∵DC1⊂平面AA1C1C，∴C1F⊥DC1. ∴∠DC1A1是二面角D－C1F－A1的平面角． 由A1D＝B1C1知A1D＝A1C1， 则∠DC1A1＝45°. 故二面角A1－l－D的大小为45°. 题型二　用定义法证明平面与平面垂直　 　如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD. [证明]　∵AB＝AD＝CB＝CD＝a， ∴△ABD与△BCD是等腰三角形． 如图，取BD的中点E，连接AE，CE， 则AE⊥BD，CE⊥BD. ∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角． 在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a， ∴AE＝＝a. 同理，CE＝a. 在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a， ∴AC2＝AE2＋CE2， ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°， 即二面角A－BD－C的平面角为90°， ∴平面ABD⊥平面BCD. 【感悟提升】　用定义证明两个平面垂直的步骤 利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直． 【跟踪训练】 2.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC. 证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 同理可得FG⊥AC， 所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角， 在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝. 在直角梯形BDFE中， 由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 即二面角E－AC－F的平面角为90°， 所以平面AEC⊥平面AFC. 题型三　平面与平面垂直的判定　 　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE. [证明]　如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC. ∵AB＝AD，E是AD的中点， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E， ∴A′N⊥BE. ∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD. 在四边形BCDE中，CD⊥MN， 又MN∩A′M＝M，MN，A′M⊂平面A′MN， ∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC且DE＝BC， ∴BE必与CD相交． 又A′N⊥BE，A′N⊥CD， ∴A′N⊥平面BCDE. 又A′N⊂平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE. 【感悟提升】　证明面面垂直的方法 (1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角． (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”． (3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面． 【跟踪训练】 3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB. 证明：∵底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD， 又PD，BD为平面PDB内两条相交直线， ∴AC⊥平面PDB. 又AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. 1．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角． 其中正确的命题是(　　) A．①③ B．② C．③ D．①② 答案：B 解析：由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b所成角与这个二面角的平面角相等或互补，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误．故选B. 2．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 答案：A 解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA.因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A. 3．(多选)(2024·山西太原英才学校高一月考)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　) A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC C．CD⊥平面PBC D．平面PCD⊥平面PAD 答案：ABD 解析：对于A，因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥AB，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；对于B，因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BC，AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；对于D，因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥CD，AD⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，故D正确；对于C，假设CD⊥平面PBC，则CD⊥PC，与CD⊥PD矛盾，所以CD与平面PBC不垂直，故C不正确．故选ABD. 4.(2024·北京海淀区高一阶段练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则平面A1CP与平面DBC1的关系为____． 答案：垂直 解析：连接AC.由正方体的性质可知AA1⊥AC，由正方形的性质可知DB⊥AC，而AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，所以DB⊥平面AA1C，而A1C⊂平面AA1C，所以DB⊥A1C，同理BC1⊥A1C，而DB∩BC1＝B，DB，BC1⊂平面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，而A1C⊂平面A1CP，所以平面A1CP⊥平面DBC1. 5.如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，P，M分别是SC，SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证：平面MAP⊥平面SAC； (2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值． 解：(1)证明：∵SC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴SC⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， 又AC∩SC＝C，AC，SC⊂平面SAC， ∴BC⊥平面SAC， 又P，M分别是SC，SB的中点， ∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC， 又PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC. (2)同(1)，可证AC⊥平面SBC， ∴AC⊥CM，AC⊥CB， 从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角． 如图，过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，则MN∥PC， ∵直线AM与直线PC所成角为60°， ∴∠AMN＝60°， 在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1， 由勾股定理，得AN＝. 在Rt△AMN中，MN＝＝＝. 在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝＝， 故二面角M－AC－B的平面角的正切值为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 二面角的平面角的概念 面面垂直的判定　 与平面与平面的夹角有关的计算 已知二面角的大小求线段长度 求二面角的三角函数值 空间垂直、平行关系有关命题的判断 线面、面面垂直的判定与二面角的三角函数值的计算 已知二面角的大小求线段长度 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用二面角的平面角的定义求线段长度(折叠问题) 平面与平面垂直个数的判断 面面垂直的证明；求异面直线所成角的大小 线面垂直、面面垂直的证明；二面角的定义 利用平面与平面的夹角求截面面积 平面与平面垂直条件的补充 线线垂直的证明；平面与平面所成角的三角函数值的计算 二面角三角函数值的计算 一、单选题 1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 答案：C 解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 2.如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE C．平面ABD⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案：B 解析：由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选B. 3．(2025·湖北荆州中学高一阶段考试)在三棱锥S－ABC中，三个侧面与底面ABC所成的角均相等，顶点S在△ABC内的射影为O，则O是△ABC的(　　) A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 答案：C 解析：若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高SD，SE，SF，由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则∠SDO，∠SEO，∠SFO分别是三侧面与底面所成角的平面角，∠SDO＝∠SEO＝∠SFO，∵tan∠SDO＝，tan∠SEO＝，tan∠SFO＝，∴OD＝OE＝OF，∴O是△ABC的内心． 4．(2024·山东东营高一下期末)已知二面角α－l－β的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面α，β内，且都与AB垂直，已知AB＝1，AC＝，BD＝2，则CD＝(　　) A．2 B. C. D. 答案：D 解析：如图所示，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接CE，因为BD⊥AB，AE∥BD，则AE⊥AB，又因为AC⊥AB，AC⊂α，AE⊂β，故二面角α－l－β的平面角为∠CAE＝，故△ACE为直角三角形，因为四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝2，DE＝AB＝1，因为AC＝，则CE＝＝，因为DE∥AB，则DE⊥AE，DE⊥AC，AC∩AE＝A，故DE⊥平面ACE，因为CE⊂平面ACE，则DE⊥CE，故CD＝＝＝. 5.(2024·宁夏六盘山高级中学高一期末)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都相等，则二面角A1－BC－A的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：取BC的中点M，连接AM，A1M，因为△ABC为等边三角形，则AM⊥BC，又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，又AM∩AA1＝A，AM，AA1⊂平面A1AM，所以BC⊥平面A1AM，又A1M⊂平面A1AM，所以A1M⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角为∠AMA1，设AB＝2，则A1A＝2，AM＝，A1M＝＝，所以cos∠AMA1＝＝＝.故选B. 二、多选题 6．(2024·贵州黔西高一下期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α⊥β的充分条件是(　　) A．m⊂β，m⊥α B．m∥α，m⊥β C．α⊥γ，β⊥γ D．α∩β＝m，m⊥n，n⊂β 答案：AB 解析：对于A, 若m⊂β，m⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，故A符合题意；对于B，若m∥α，则存在m1⊂α，使得m∥m1，因为m⊥β，所以m1⊥β，又因为m1⊂α，所以α⊥β，故B符合题意；对于C，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β平行或相交，故C不符合题意；对于D，若α∩β＝m，m⊥n，n⊂β，则只能说明α，β相交但不一定垂直，故D不符合题意． 7.(2024·广西梧州苍梧中学高一期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则(　　) A．AC1⊥平面BEC B．AB1⊥平面BEC C．平面AA1B1B⊥平面BEC D．二面角D1－BC－E的余弦值为 答案：CD 解析：对于A，显然AC1与BC不垂直，故A错误；对于B，显然AB1与BE不垂直，故B错误；对于C，因为BC⊥平面AA1B1B，BC⊂平面BEC，所以平面AA1B1B⊥平面BEC，故C正确；对于D，连接A1B，CD1，由题意可知CD1⊥BC，CD1∥A1B，A1B⊥BC，BE⊥BC，所以∠A1BE为二面角D1－BC－E的平面角，设正方体的棱长为2，则BE＝，A1B＝2，A1E＝1，cos∠A1BE＝＝，所以二面角D1－BC－E的余弦值为，故D正确．故选CD. 三、填空题 8．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高________m. 答案：5 解析：如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC垂直坡脚线于点C，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝ABsin30°＝10 m，所以BH＝BCsin30°＝5 m. 9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝____． 答案：1 解析：∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，∵平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BD＝CD＝，折叠后，在Rt△BDC中，BC＝＝1. 10.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有____对平面与平面垂直． 答案：3 解析：∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.同理，平面PAC⊥平面ABC.又AC⊥BC，BC⊥PA，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，由BC⊂平面PBC，从而平面PBC⊥平面PAC，故图中相互垂直的平面有3对． 四、解答题 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥BC，PA⊥BD，底面ABCD为矩形． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝AB＝1，AD＝，求异面直线AB与PC所成角的大小． 解：(1)证明：因为PA⊥BC，PA⊥BD，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD， 因为AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB， 又底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB， 因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD. (2)因为AB∥CD，所以异面直线AB与PC所成角即∠PCD(或其补角)． 由(1)知，AB⊥平面PAD， 因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD， 因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 从而tan∠PCD＝， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD， 所以PD＝＝， 又CD＝AB＝1，故tan∠PCD＝， 从而异面直线AB与PC所成角为60°. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.求证： (1)PD⊥平面ABCD； (2)平面PAC⊥平面PBD； (3)∠PCD为二面角P－BC－D的平面角． 证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a， ∴PC2＝PD2＋DC2， ∴△PDC为直角三角形，且∠PDC＝90°， ∴PD⊥DC. 同理可证PD⊥AD. ∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD. (2)由(1)知PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 又BD∩PD＝D，PD，BD⊂平面PBD， ∴AC⊥平面PBD. 又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. (3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，PD∩DC＝D， ∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC. ∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角． 13．(2025·陕西长安一中高一下月考)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长及高都为2，过AB作一个截面，截面与底面ABC所成的角为30°，则此截面的面积为(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案：B 解析：如图，取AB的中点E，在CC1上取点H，连接EH，EC，因为BC＝AC，所以CE⊥AB，所以BH＝＝＝AH，所以∠HEC即为截面ABH与底面ABC所成的角，所以∠HEC＝30°，因为CE＝2×＝，所以EH＝＝2，所以S△ABH＝×AB×BH＝×2×2＝2. 14．(2024·江苏南通高一下阶段练习)空间中直线l，m，平面α，β，命题p：若l∥α，m⊥β，____，则α⊥β.在横线上补充一个条件，使p成为真命题． 答案：l∥m 解析：因为m⊥β，l∥m，根据直线与平面垂直的性质，如果一条直线垂直于一个平面，则和这条直线平行的直线也垂直于这个平面，所以l⊥β，又l∥α，则平面α内一定存在一条直线n与l平行，所以n⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，如果一个平面经过另外一个平面的垂线，则两个平面互相垂直，所以α⊥β. 15．(2025·海南华侨中学高一质检)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD＝O，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，F为DC1的中点． (1)证明：BD⊥AA1； (2)求平面DAA1与平面CAA1所成角的余弦值． 解：(1)证明：棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为2， ∴底面ABCD为菱形，故AC⊥BD， ∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面A1OC， ∴BD⊥平面A1OC，又A1A⊂平面A1OC， ∴BD⊥AA1. (2)∵A1O⊥平面ABCD，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°， ∴∠A1AO＝60°， 如图，作OM⊥AA1于点M，由(1)知，BD⊥AA1，又OM∩BD＝O，OM，BD⊂平面OMD， ∴AA1⊥平面OMD，又MD⊂平面OMD， ∴AA1⊥MD， 故∠OMD即二面角D－AA1－C的平面角， 由(1)知，BD⊥平面A1OC， 又MO⊂平面A1OC， ∴BD⊥MO， ∴cos∠OMD＝， AO＝AA1cos60°＝1，MO＝AOsin60°＝， DO＝＝， MD＝＝， ∴cos∠OMD＝＝. ∴平面DAA1与平面CAA1所成角的余弦值为. 16．在①PC⊥BD；②PC⊥AB；③PA＝PC这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答下题： 如图，在四棱锥P－ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若____，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成角为60°，求二面角A－PB－C的余弦值． 解：若选②：由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AB， 又PC⊥AB，PO∩PC＝P， 所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC， 所以∠BAC＝90°，BC>BA， 这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③. 下面证明PO⊥平面ABCD. 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为PC⊥BD，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 又因为PO⊂平面PAC，所以BD⊥PO. 因为PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC. 又AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. 设菱形ABCD的边长为2，PO＝a. 因为∠ABC＝60°，所以AO＝1，BO＝. 所以PA＝，PB＝. 因为AB∥CD，且∠PBA为锐角， 所以∠PBA为异面直线PB与CD所成角， 所以∠PBA＝60°. 在△PBA中，由余弦定理得a2＋1＝4＋a2＋3－2×2××， 解得a＝. 又CB＝AB，CP＝AP，PB＝PB， 所以△CPB≌△APB. 过点C作CE⊥PB，垂足为E，连接AE， 则AE⊥PB， 所以∠CEA为二面角A－PB－C的平面角． 易得CE＝AE＝， 在△AEC中，cos∠CEA＝＝＝， 故二面角A－PB－C的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$