11.4.2 第2课时 平面与平面垂直的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　平面与平面平行的性质 (教师独具内容) 课程标准：从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面平行的关系，并归纳出平面与平面平行的性质定理． 教学重点：平面与平面平行的性质定理． 教学难点：综合运用所学知识解决线线、线面、面面平行关系问题． 核心素养：借助两平面平行的判定与性质进行各种平行关系的转化，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 知识点　平面与平面平行的性质定理 1．文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．该定理简称为面面平行的性质定理． 2．符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m. 3．图形表示 4．结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． [拓展]　由面面平行的性质定理得到的其他性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行． (3)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (4)平行于同一平面的两个平面平行(面面平行的传递性)． 1．(面面平行的性质定理)已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 答案：A 2．(面面平行性质定理的应用)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 答案：C 3．(面面平行性质定理的应用)已知α∥β，AC⊂α，BD⊂β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝____． 答案：6 题型一　平面与平面平行的性质及应用　 　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. [证明]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D， 所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D. 【感悟提升】　利用面面平行的性质定理证明的一般步骤 【跟踪训练】 1.如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明． 解：直线a，b的位置关系是平行．证明如下： 连接DD′. ∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a. 同理可证AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点， ∴DD′綊BB′， 又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′， ∴四边形AA′D′D为平行四边形， ∴A′D′∥AD，∴a∥b. 题型二　平行关系的综合应用　 　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN. 求证：MN∥平面AA1B1B. [证明]　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP， ∵MP∥BB1， ∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴MB1＝NB， ∴＝，∴＝，∴NP∥CD， 又AB∥CD，∴NP∥AB. ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B. 又MP∩NP＝P，MP，NP⊂平面MNP， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP， ∴MN∥平面AA1B1B. 【感悟提升】　空间中平行关系的相互转化 空间中线线平行、线面平行、面面平行可相互转化，其关系可用下图表示： 【跟踪训练】 2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点． (1)当为何值时，BC1∥平面AB1D1? (2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1. 解：(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1. 如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的定义知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴O为A1B的中点． 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. 故当＝1时，BC1∥平面AB1D1. (2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1， ∴四边形ADC1D1是平行四边形． ∴AD1∥DC1. 又DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1， ∴DC1∥平面AB1D1. 又BC1∥平面AB1D1，DC1∩BC1＝C1，BC1，DC1⊂平面BC1D， ∴平面BC1D∥平面AB1D1. 题型三　与线、面平行相关的计算问题　 　已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S.已知AS＝6，BS＝9，CD＝10. (1)若点S在平面α，β之间，则SC＝____； (2)若点S不在平面α，β之间，则SC＝____． [解析]　(1)如图①所示，AB∩CD＝S，则AB，CD确定一个平面，设为γ，α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.因为α∥β，所以AC∥BD，于是＝，即＝，解得SC＝4. (2)如图②所示，同(1)知AC∥BD，于是＝，即＝，解得SC＝20. [答案]　(1)4　(2)20 【感悟提升】　由平面几何中的平行线分线段成比例定理及其推论，立体几何中的“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”“两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例”，我们可以解决立体几何中的计算问题．解题的关键是由线面平行的判定和性质，实现平面几何和立体几何的转化，依据平行关系确定线段的比例关系，进而求解相关的计算问题． 【跟踪训练】 3.如图，平面α∥β∥γ，直线l，m分别与α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，若＝，DF＝20，则EF＝____． 答案：15 解析：分两种情况：①直线l和m在同一平面内，设该平面为τ，连接AD，BE，CF.因为平面α∥β∥γ，α∩τ＝AD，β∩τ＝BE，γ∩τ＝CF，所以AD∥BE∥CF，所以＝＝，又DF＝20，所以EF＝15. ②直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，过D作DH∥AC，与β，γ交于点G，H，连接BG，CH，GE，HF，因为平面α∥β∥γ，所以AB ＝DG，BC＝GH，设直线DH与DF所确定的平面为ξ，又ξ∩β＝GE，ξ∩γ＝HF，又β∥γ，所以GE∥HF，利用平行线分线段成比例，可得＝＝＝，又DF＝20，所以EF＝15.综上，EF＝15. 1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条交线的位置关系是(　　) A．两两相互平行 B．两两相交于同一点 C．两两相交但不一定交于同一点 D．两两相互平行或交于同一点 答案：A 解析：根据面面平行的性质定理，知四条交线两两互相平行． 2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 答案：D 解析：因为α∥β，若AC∥BD，则A，B，C，D四点共面．若A，B，C，D四点共面，则由面面平行的性质定理可得AC∥BD，所以直线AC∥直线BD的充要条件是A，B，C，D四点共面． 3．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　) A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若α∥β，m⊂α，则m∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 答案：BC 解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n，或m，n异面，或m，n相交，故A错误；若α∥β，m⊂α，则m∥β，B正确；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；只有当m与n相交时才有α∥β，D错误．故选BC. 4.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝____． 答案： 解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝，∴AB＝＝＝. 5．已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： (1)MN∥平面PAD； (2)MN∥PE. 证明：　(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. 因为N，Q分别是PC，DC的中点， 所以NQ∥PD. 因为NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以NQ∥平面PAD. 因为M是AB的中点， 四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD. 又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD. 因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PAD. 因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD. (2)因为平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，所以MN∥PE. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 对点 利用面面平行的性质定理判断线线平行 利用面面平行的性质定理判断线线平行 面面平行有关命题的判断 面面平行的性质定理的应用 利用面面平行判断线段比例 空间中平行关系有关命题的判断 面面平行的判定与性质定理的综合应用 面面平行的性质定理的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用面面平行的性质求线段长 利用面面平行的性质画出截面，并判断其形状，计算其面积 面面平行的探索性问题 面面平行的性质定理的应用 由面面平行判断线线平行 利用面面平行的性质定理求线段比例 利用面面平行判断线段比例 面面平行的判定与性质的综合应用 一、单选题 1．如图，已知平面α∥平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案：A 解析：由题意知，P，A，B，C，D在同一平面内，且平面PBD∩平面α＝AC，平面PBD∩平面β＝BD，∵平面α∥平面β，∴AC∥BD.故选A. 2.(2024·江苏无锡高一下期中)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)分别交C1D1，A1B1，AB，CD于点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 答案：A 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面EFGH∩平面ABCD＝GH，平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥GH，同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形． 3．(2024·广东深圳高一期末)已知A，B是平面α内的点，A1，B1是平面β内的点，且AA1∥BB1，则“AA1＝BB1”是“α∥β ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若A，B是平面α内的点，A1，B1是平面β内的点，且AA1∥BB1，设p：α∥β，q：AA1＝BB1 ，必要性：p⇒q，若α∥β，且AA1∥BB1，则A，A1，B，B1四点构成一个平面AA1B1B，且平面AA1B1B∩平面α＝AB，平面AA1B1B∩平面β＝A1B1，所以AB∥A1B1，所以四边形AA1B1B为平行四边形，所以AA1＝BB1，所以必要性成立；充分性：q⇒p，若AA1＝BB1，且AA1∥BB1，则四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB∥A1B1，因为A，B是平面α内的点，A1，B1是平面β内的点，所以AB⊂α，A1B1⊂β，只有两直线平行无法得出α∥β，所以充分性不成立．所以“AA1＝BB1”是“α∥β”的必要不充分条件． 4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，点A，B分别在平面α，β内运动，那么所有的动点C(　　) A．不共面 B．不论点A，B如何运动，都共面 C．当且仅当点A，B分别在两条直线上运动时，才共面 D．当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上运动时，才共面 答案：B 解析：如图所示，不论A，B如何运动，所有的动点C都在与平面α，β平行且等距离的平面内，故选B. 5.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于点A′，B′，C′，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由平面α∥平面ABC，得A′B′∥AB，B′C′∥BC.又由等角定理得∠A′B′C′＝∠ABC，同理，∠B′A′C′＝∠BAC，故△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝，∴＝. 二、多选题 6．已知a，b表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且α∥β，则a∥b B．若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b 答案：ABD 解析：对于A，由平面与平面平行的性质定理，可知A正确；对于B，若a，b相交且都在α，β外，根据线面关系的推论可得a，b可以确定一个平面记为γ，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，可得γ∥α，γ∥β，由面面平行的传递性可知α∥β，故B正确；对于C，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，a⊂α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理可知a∥b，故D正确． 7.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　) A．AB∥DE B．BF∥平面ACGD C．CF∥平面ABED D．平面ABED∥平面CGF 答案：AB 解析：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ABED＝AB，平面DEFG∩平面ABED＝DE，∴AB∥DE，故A正确；取DG的中点M，连接AM，FM，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故B正确；显然C，D不正确．故选AB. 三、填空题 8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是____． 答案：平行 解析：因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1. 9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F.已知AB＝6，＝，则AC＝____． 答案：15 解析：由题意可知＝＝，又AB＝6，所以AC＝＝15. 10．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是____，截面的面积是____． 答案：等腰梯形　 解析：设截面C1BM与平面AA1D1D的另一个交点为N，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，截面C1BM与两平面的交线分别为BC1，MN，所以MN∥BC1，又BC1∥AD1，所以MN∥AD1. 因为M为A1D1的中点，所以N为AA1的中点，所以MN＝AD1，则MN＝BC1＝.则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为×(＋2)×＝. 四、解答题 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？ 解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 由面面平行的性质定理可得 BQ∥D1M. 假设平面D1BQ∥平面PAO， 由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP， 可得AP∥D1M，所以BQ∥AP. 因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点． 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 12.在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O、上底面圆O1的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且OP∥平面BCE.求证：DP＝PE. 证明：　如图，连接O1P，O1O， 因为BC为母线，所以OO1∥BC， 又BC⊂平面BCE， 所以OO1∥平面BCE. 因为OP∥平面BCE， 所以平面OPO1∥平面BCE. 又平面DCE∩平面OPO1＝O1P，平面DCE∩平面BCE＝CE， 所以O1P∥CE，因为O1是CD的中点，所以P是DE的中点，即DP＝PE. 13．(2024·山东枣庄高一下期末)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，四边形A′B′C′D′是梯形ABCD在平面α内的投影(AA′∥BB′∥CC′∥DD′)，则对四边形A′B′C′D′的判断正确的是(　　) A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形 C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形 答案：D 解析：由题意，因为AA′∥BB′∥CC′∥DD′，所以AA′与BB′确定平面AA′B′B，CC′与DD′确定平面CC′D′D，∵AA′⊄平面CC′D′D，DD′⊂平面CC′D′D，∴AA′∥平面CC′D′D，又在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊄平面CC′D′D，CD⊂平面CC′D′D，∴AB∥平面CC′D′D.又AA′∩AB＝A，AA′⊂平面AA′B′B，AB⊂平面AA′B′B，∴平面AA′B′B∥平面CC′D′D.易知平面AA′B′B∩α＝A′B′，平面CC′D′D∩α＝C′D′，∴A′B′∥C′D′.在平面ABCD中，AB与CD长度不相等，BC，AD必然会相交于一点，则平面BB′C′C与平面AA′D′D相交，B′C′，A′D′必然会相交于一点，则四边形A′B′C′D′只可能是梯形． 14．(2024·广东深圳高一下期中)四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，E是棱PD上一点，PE＝PD，若＝λ且满足BF∥平面ACE，则λ＝____． 答案： 解析：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由四边形ABCD是正方形，得BO＝OD，在线段PE上取点G，使得GE＝ED，由PE＝PD，得＝，连接BG，FG，则BG∥OE，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BF∥平面ACE，BG∩BF＝B，BG，BF⊂平面BGF，因此平面BGF∥平面ACE，又平面PCD∩平面ACE＝EC，平面PCD∩平面BGF＝GF，则GF∥EC，所以λ＝＝＝. 15.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值． 解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点． 因为平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 所以BC1∥D1O， 所以D1为线段A1C1的中点， 所以D1C1＝A1C1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1， 平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1， 所以AD1∥DC1. 又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形， 所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC， 所以＝1. 16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图． (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC. 解：(1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D. 又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD. 又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD. (2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E. 因为AO1⊂平面AB1D1， 所以点E也在平面AB1D1内， 所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点． 连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点． 下面证明A1E＝EF＝FC. 因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF. 同理可证OF∥AE， 又因为O为AC的中点， 所以F是CE的中点，即CF＝EF， 所以A1E＝EF＝FC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$