11.3.1 平行直线与异面直线-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间平行关系中的平行直线与异面直线，系统梳理空间平行线传递性、等角定理、异面直线概念及空间四边形，通过定义（文字、图形、符号语言）、基础训练、题型示例与思维建模构建学习支架，衔接平面到空间的几何认知。 采用梯度进阶式教学，以正方体模型为依托，通过证明平行（如EE'∥FF'）、等角定理证相似（△EFG∽△C₁DA₁）培养空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），课中辅助教师引导，课后通过训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解空间平行线的传递性,会证等角定理.　2.理解异面直线的概念、画法,了解空间四边形. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.平行直线 (1)空间平行线的传递性 文字语言 图形语言 符号语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果a∥b,a∥c,则b∥c (2)等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等. 2.异面直线 (1)异面直线的概念 空间中既不平行也不相交的直线. (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托,如图(1)(2)所示. 3.空间四边形 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形,其中4个点都是空间四边形的顶点,连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边,连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 空间四边形用表示顶点的4个字母表示. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)垂直于同一直线的两条直线互相平行. (　　) (2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行. (　　) (3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (　　) (4)两条直线无公共点,则这两条直线平行. (　　) (5)两直线若不是异面直线,则必相交或平行. (　　) (6)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线. (　　) 答案:(1)×　 (2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× 2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 (　　) A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.无法判断 解析:选B　由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似. 3.不平行的两条直线的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:选D　若两直线不平行,则直线可能相交,也可能异面. 4.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是 (　　) A.SB B.SC C.BC D.AB 答案:C 题型(一)　空间平行线的传递性及其应用 [例1]　如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'. 证明:因为E,E'分别是AB,A'B'的中点, 所以BE∥B'E',且BE=B'E'. 所以四边形EBB'E'是平行四边形. 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB'. 所以EE'∥FF'. 　　[变式拓展] 　在本例中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 证明:在正方体中,MN∥A'C',且MN=A'C', 因为A'C'∥AC,且A'C'=AC, 所以MN∥AC,且MN=AC. 又AM与CN不平行,故四边形ACNM是梯形. |思|维|建|模| 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法 用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点. (3)空间平行线的传递性 用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c. 　　[针对训练] 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形. 证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE. 因为F为CC1的中点, 所以BG∥FC1,且BG=FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形. 所以BF∥GC1,BF=GC1. 又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1, 所以EG∥C1D1,EG=C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形. 所以ED1∥GC1,ED1=GC1. 所以BF∥ED1,BF=ED1. 所以四边形BFD1E是平行四边形. 题型(二)　等角定理及其应用 [例2]　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,求证:△EFG∽△C1DA1. 证明:如图,连接B1C.因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以CD∥AB,A1B1∥AB. 所以CD∥A1B1. 所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG,所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同,所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. |思|维|建|模| (1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行. (2)根据角的两边的方向判定两角相等.　 　　[针对训练] 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D. 证明:如图,连接CB1,CD1.∵CD􀰿A1B1,∴四边形A1B1CD是平行四边形, ∴A1D∥B1C.∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC􀰿A1D1.∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D. 题型(三)　异面直线的判定问题 [例3]　如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是PA,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线. 证明:∵PA∩PC=P, ∴PA,PC确定一个平面α. ∵E∈PC,F∈PA, ∴E∈α,F∈α,EF⊂α. ∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF. 又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合, ∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交, 于是直线EF和DH是异面直线. |思|维|建|模| 　　 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内. (2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 　　[针对训练] 3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF (　　) A.平行　　　　　　　　 B.异面 C.相交 D.以上均有可能 解析:选B　假设BE与CF是共面直线,设此平面为α,则E,F,B,C∈α,所以BF,CE⊂α,而A∈CE,D∈BF,所以A,D∈α,即有A,B,C,D∈α,与ABCD为空间四边形矛盾,所以假设不成立,BE与CF是异面直线,故选B. 4.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条 (　　) A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 解析:选C　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1相交,与BC异面. 学科网（北京）股份有限公司 $