11.2 平面的基本事实与推论-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“平面的基本事实与推论”核心知识点，系统梳理基本事实1-3（不共线三点确定平面、直线在平面内、两平面交线）及推论1-3（直线与线外点、相交或平行直线确定平面），构建从基础原理到点线共面、点共线线共点、确定交线应用的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“思维建模”提炼证明方法（如纳入法、同一法）培养学生推理能力，结合例题变式（如三线共面证明）与图形符号语言发展数学表达，助力学生用数学眼光观察空间形式。课中便于分层教学，课后通过基础与针对训练帮助学生查漏补缺。

11.2　平面的基本事实与推论 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标]　了解基本事实1~3及基本事实1,2的推论,并能应用基本事实及推论解决一些简单问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.空间中关于平面的三个基本事实(也称为公理) 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实 1 经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α 用来确 定一个 平面　 基本 事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈α,B∈α ⇒AB⊂α 用来证 明直线 在平面 内　　 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α,且A∈β⇒α∩β =a,且A∈a 用来证 明空间 的点共 线和线 共点　 2.三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面 确定 平面 的依据 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 基础落实训练 1.下列图形中,不一定是平面图形的是 (　　) A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形 解析:选D　三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形. 2.过不共线的四点有且只有一个平面对吗,为什么? 提示:不对,过不共线的四点不一定存在一个平面,如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点,便无法作出一个平面. 题型(一)　点、线共面问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　 如图,已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α. 证明:因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β,点P∈β. 因为P∈b,b⊂α,所以P∈α. 又因为a⊂α,P∉a,所以α与β重合,所以PQ⊂α. 　　[变式拓展] 　将本例中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,符号表示为已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面. 证明:如图,∵a∥b, ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α. 又∵A∈l,B∈l,∴l⊂α. ∵b∥c,∴b与c确定一个平面β,同理l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B, 由基本事实1的推论知,经过两条相交直线有且只有一个平面, ∴平面α与平面β重合.∴a,b,c和l共面. |思|维|建|模| 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.　 　　[针对训练] 1.已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交,求证:A,B,C,D,E这五个点在同一平面上. 证明:设CE∩BD=M,CA∩BD=N, ∵CA∩CE=C, ∴CA,CE确定一个平面α. ∵M∈CE,∴M∈α, 同理N∈α. ∴直线MN即直线BD⊂α, ∴B∈α,D∈α. ∴A,B,C,D,E这五个点在同一平面上. 题型(二)　点共线、线共点问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线. 证明:由题意作图,如图所示. ∵AA1∥CC1, ∴A,A1,C,C1确定一个平面AA1C1C.O∈A1C,A1C⊂平面AA1C1C, ∴O∈平面AA1C1C. ∵对角线A1C与平面BDC1交于点O, ∴O∈平面BDC1,O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上. ∵AC∩BD=M, ∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1. ∴平面AA1C1C∩平面BDC1 =C1M. ∴O∈C1M,即点C1,O,M共线. 　　[变式拓展] 　本例条件不变,求证:BE,DF,CC1三线共点. 证明:延长DF,BE交于G, ∵DG⊂平面DCG, ∴G∈DG, ∴G∈平面DCG. ∵BE⊂平面BCG, ∴G∈BE, ∴G∈平面BCG. ∵平面DCG∩平面BCG=CC1, ∴G∈CC1.∴BE,DF,CC1三线共点. |思|维|建|模| 1.证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.　 2.证明三线共点的步骤 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上. 　　[针对训练] 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证:O1,P,A三点在同一条直线上. 证明:因为O1∈平面AB1D1,O1∈平面AA1C1C,A∈平面AB1D1,A∈平面AA1C1C, 所以平面AB1D1∩平面AA1C1C=AO1. 又因为A1C∩平面AB1D1=P, 所以P∈直线A1C,P∈平面AB1D1. 所以P∈平面AA1C1C.所以P∈直线AO1, 即O1,P,A三点在同一条直线上. 题型(三)　确定两平面的交线 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,试画出平面BED1F与平面ABCD的交线. 解:如图所示,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行, 分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.因为M∈D1F,M∈DA,D1F⊂平面BED1F,DA⊂平面ABCD, 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD. 又B∈平面BED1F∩平面ABCD, 连接MB,则MB=平面BED1F∩平面ABCD. 即直线MB为所求两平面的交线. |思|维|建|模| 　　基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 　　[针对训练] 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线,并作出平面α与平面ABCD的交线. 解:平面α与长方体表面的交线(A1P,C1P,A1C1)如图①所示. 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定:延长C1P,则它与CB的延长线一定相交,设交点为M,则M是平面α与平面ABCD的一个公共点;同理,延长A1P交AB的延长线于点N,则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点,连接MN,则直线MN就是平面α与平面ABCD的交线,如图②所示. 学科网（北京）股份有限公司 $