11.3.3 平面与平面平行-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.3.3　平面与平面平行 知识层面 1．掌握空间中两个平面的位置关系，并会判断．　2．掌握空间中平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题．　3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用． 素养层面 通过学习空间中两平面的位置关系，培养直观想象核心素养；借助两平面平行的判定与性质定理的学习，提升逻辑推理、数学抽象核心素养． 问题1．我们在生活中看到，工人师傅将水平尺(如图)在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，为什么呢？ 提示：理论依据：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 问题2．若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 提示：平行． 问题3．若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面的直线平行或异面，那么如何找到平行的直线呢？ 提示：过一个平面内的一条直线作一个平面与另一个平面相交，则该直线与交线平行． 学生用书第80页 知识点一　平面与平面平行的判定定理 1．平面与平面平行的判定定理及推论 (1)平面与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β (2)推论 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 如果l⊂α，m⊂α，a∩b＝A，l′⊂β，m′⊂β，l∥l′，m∥m′，则α∥β [微提醒]　对平面与平面平行的判定定理的理解 (1)定理作用：把判定面面平行问题转化为判定线面平行问题，即要证明面面平行，需证线面平行． (2)面面平行判定定理的必备条件 ①平面内的两条直线与另一平面平行； ②这两条直线必须是相交直线． 2．两个平面平行的画法 在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线，如图所示． 知识点二　平面与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m [微提醒]　由面面平行的性质定理可以得到两个平面平行的其他性质： (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行． (3)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)平行于同一平面的两个平面平行(面面平行的传递性). 1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 答案：B 解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α∥β； 对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α∥β； 对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α∥β； 对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α∥β. 故选B． 2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案：D 解析：对于A项，m，n可能相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交，故B错误；对于C，α，β可能相交，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D正确．故选D． 3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　) A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 答案：A 解析：由m∥l1，m⊂α，l1⊂β得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2，是α∥β的一个充分不必要条件．故选A． 学生用书第81页 4．如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　) A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF 答案：A 解析：取DG的中点M，连接AM，FM，如图所示．由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綉FM.因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM.又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，所以BF∥平面ACGD，故A正确．由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，GF的延长线与DE相交，故B不正确．选项C、D不能根据题意推出．故选A． 5．过正方体ABCD -A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________． 答案：平行 解析：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1＝直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1． 题型一　平面与平面平行的判定 例1　如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点． 求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′. 点拨：由平面与平面平行的判定定理知，要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可． 证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以A′E′綉BE，四边形A′EBE′为平行四边形， 所以A′E∥BE′. 因为A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′， 所以A′E∥平面BCF′E′. 同理，A′D′∥平面BCF′E′. 又A′E∩A′D′＝A′， 所以平面A′EFD′∥平面BCF′E′. 利用面面平行的判定定理证明两平面平行的步骤 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用面面平行的判定定理得出结论． 对点练1．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点．求证： (1)A1B∥平面AC1D； (2)平面A1BD1∥平面AC1D． 证明：(1)由题意，ABC - A1B1C1是三棱柱， 连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B∥DO， 因为DO⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D， 所以A1B∥平面AC1D． (2)因为D是BC的中点，D1是B1C1的中点， 所以D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以D1B∥C1D， 又D1B⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以D1B∥平面AC1D， 因为由(1)可知A1B∥平面AC1D， 又D1B∩A1B＝B，D1B、A1B⊂平面A1BD1， 所以平面A1BD1∥平面AC1D． 题型二　面面平行性质定理的应用 例2　如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明． 点拨：由三棱柱ABC-A′B′C′，得平面ABC∥平面A′B′C′，若第三个平面与它们相交，则所成交线平行． 解：直线a，b的位置关系是平行，证明如下． 连接DD′. 因为平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′， 所以A′D′∥a， 同理可证AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点， 所以DD′綉BB′， 又BB′綉AA′，所以DD′綉AA′， 所以四边形AA′D′D为平行四边形， 所以A′D′∥AD，所以a∥b. 学生用书第82页 利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤 第一步：先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； 第三步：再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由定理得出结论． 对点练2．已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： (1)MN∥平面PAD； (2)MN∥PE. 证明：(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. 因为NQ是△PDC的中位线， 所以NQ∥PD． 因为NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以NQ∥平面PAD． 因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， 所以MQ∥AD． 因为MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD． 因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD． 因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD． (2)因为平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， 所以MN∥PE. 题型三　线线、线面、面面平行的综合应用 例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面BB1D1D； (3)平面BDF∥平面B1D1H. 点拨：(1)找出平行四边形，根据空间平行线的传递性进行解答． (2)在平面BB1D1D内找到与直线EG平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明． (3)在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行． 证明：(1)如图所示，取B1B的中点M，连接HM，MC1，易证HMC1D1是平行四边形， 所以HD1∥MC1． 又MC1∥BF，所以BF∥HD1． (2)取BD的中点O，连接OE，OD1，则OE綉DC． 又D1G綉DC，所以OE綉D1G. 所以四边形OEGD1是平行四边形， 所以EG∥D1O. 又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D， 所以EG∥平面BB1D1D． (3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD． 又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B， 所以平面BDF∥平面B1D1H. 线线、线面、面面平行的相互转化 由上图可以看出三者之间可以进行适当的转化，即由两条相交直线和平面平行可以判定两个平面平行；同样，由两个平面平行的性质也可以推出直线和平面平行、直线与直线平行．直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化体现了知识间的相互依赖关系. 学生用书第83页 对点练3．如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 证明：(1)因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点， 所以EF∥A1C1， 因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， 所以EF∥平面A1C1G. 因为F，G分别为A1B1，AB的中点， 所以A1F＝BG， 又因为A1F∥BG， 所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， 因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， 所以BF∥平面A1C1G. 又EF∩BF＝F， 所以平面A1C1G∥平面BEF. (2)因为平面A1C1G与平面ABC有公共点G，平面A1C1G∩BC＝H， 所以平面A1C1G∩平面ABC＝GH. 因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 所以A1C1∥GH， 又A1C1∥AC， 所以GH∥AC， 因为G为AB的中点， 所以H为BC的中点． 易错点　忽略定理使用的前提条件致误 设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α.则“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 正解：当α∥β时，因为m，n⊂α，所以m∥β，n∥ β， 所以“α∥β ”是“m∥β，n∥β ”的充分条件． 当m∥β且n∥β时，因为m，n⊂α， 若m，n是两条相交直线，则α∥β； 若m，n是两条平行直线，则α与β可能相交，即不能推出α∥β.所以“α∥β”不是“m∥β，n∥β”的必要条件． 答案：A 易错探因：在利用面面平行的判定定理时，易忽略两条相交直线这一前提条件．当两条直线平行时，两个平面的位置关系是相交或平行． 误区警示：平面与平面平行的判定定理包含三个条件：(1)平面α内有两条直线l，m，(2)直线l，m相交，(3)直线l，m都平行于平面β.三个条件缺一不可． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．夹在两个平行平面间的平行线段相等 答案：BCD 解析：A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确．故选BCD． 2．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 答案：D 解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面．故选D． 3．六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案：D 解析：如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，所以此六棱柱的面中互相平行的有4对．故选D． 4．如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝_______． 答案： 解析：因为α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，所以AB∥CD，可得＝. 因为PA＝6，AC＝9，PD＝8，所以＝，解得BD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$