11.1.6 第2课时 球的表面积和体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦球的表面积和体积公式这一核心知识点，系统梳理球的截面问题（含分类讨论球心与截面位置）、与正方体/多面体/旋转体的切接问题，通过例题解析与针对训练搭建从公式应用到复杂问题解决的学习支架。 资料以“思维建模”提炼截面问题转化方法，培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），通过逻辑推理分析切接问题中球心位置与棱长关系（数学思维），习题讲评式设计助力教师授课，课后练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

第2课时　球的表面积和体积 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解并掌握球的体积和表面积公式.　2.会用球的表面积与体积公式解决实际问题. 3.掌握球的切、接问题,并能准确确定球心. 题型(一)　球的截面问题 [例1]　在球内有相距9 cm的两个平行截面,截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2,求该球的体积. 解:①当两个平行截面在球心同一侧,作出球的截面图,如图所示. ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2, ∴对应的半径BD=7 cm,AC=20 cm. 且AB=9 cm,设球半径为r, 则OA=,OB=, 又=9+, 解得r=25 cm. ∴球的体积为×253 cm3= cm3. ②当两个平行截面在球心两侧时,作出球的截面图,如图所示. ∵截面圆的面积分别为49π cm2和400π cm2, ∴对应的半径BD=7 cm,AC=20 cm.且AB=9 cm,设球半径为r, 则OA=,OB=,无解.综上,球的体积为 cm3. |思|维|建|模| (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决. (2)注意一个直角三角形,即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理.　 　　[针对训练] 1.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的倍,且AC=8,BC=6,AB=10,求球的表面积及体积. 解:如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=R. 在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2, ∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点, 即O1A=5.又O+O1A2=OA2, ∴+52=R2. ∴R2=100,R=10. ∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,球的体积V球=πR3=π×103=π. 题型(二)　与球有关的切、接问题 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 　 　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.　 [例2]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示. 所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2). 所以2r2=a,r2=a, 所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示. 则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题 　 　　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析:选B　如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2. ∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2. 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 角度(三)　球与旋转体的切接问题 　 　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　.  解析:(1)如图,BE=BO2=r,AE=AO1=R, 又OE⊥AB且BO⊥OA,∴△AEO∽△OEB. ∴OE2=AE·BE=Rr. ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.所以==. 答案:(1)C　(2) 　　[针对训练] 2.已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为 (　　) A.π B. C.2π D.3π 解析:选C　依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为2,因此=,解得r=,所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π,故选C. 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　.  解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O,∵正四棱锥P-ABCD中AB=2,∴AO'=.∵PO'=4,∴在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 答案: 4.若圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为　　　　.  解析:如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为100π. 答案:100π 学科网（北京）股份有限公司 $