阶段性练习卷(六)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 13.解：(1).四面体的对 棱相等，·.可以放入一个长方体 A 中，各组对棱为长方体相对面的 对角线，如图所示，四面体体积 为长方体体积减去4个小三棱锥 第13题答图 的体积.设长方体的长、宽、高分 a2+b2-25, 04, 别为a,b,c,则有b2+c=13,解得b=3, a2+c2-20, c=2 :四面体ABCD的体积为V=bc-x6obc=8 (2)由(1)得，长方体的外接球就是四面体的外接 球，半径R=号V6+2=V29,故四面体ABCD外接球 2 的表面积S=4πR2=29m 14.B【解析】依题意，知球P的半径最大时，球P为 正三棱锥O-ABC的内切球，设此时它的半径为r,球心为 P,连接PO,PA,PB,P℃（图略），则正三棱锥O-ABC的 体积V等于四个小三棱锥POAB,POBC,POAC,PABC 的体积之和.球P是正三棱锥的内切球，∴.四个小三棱锥 可以分别看作以正三棱锥O-ABC的四个面为底，以球P的 半径r为高的三棱锥.·正三棱锥O-ABC的侧面为等腰直 角三角形，且直角边为a,∴.正三棱锥的底面边长为V2a, ,V三枚维A=V三锥PHs+V三族锥PBC+V三枝锥PAC+V三枚PABc, 4 解得=3-V了a.故选B. 6 15.D【解析】如图所示，设点0A 是三棱柱的外接球和内切球的球心， B 点M是底面等边△ABC的中心，点 10 N是棱AB的中点，连接OM,MW AM,OA.设AB=2a,则MN=V3。 A 3, -M MA=2Y了a:三棱柱的内切球与各 第15题答图 3 面都相切，∴.三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形的 内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径，.OM=MW= Y了a,即三棱柱的内切球的半径r=Y了a,OA= 3 3 VOM+Mn=Y压a,即三棱柱的外接球的半径R=Y压a, 3 3 :内切球的表面积为4r号心，外接球的表面积为 4R=9心，三棱桂外接球和内切球的表面积之比为 80 9㎡：专n51.放选D. 一“阶段性练习卷（六） 1.A【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长 为1，由题意，可知h=2,则x(V2r乃1，=l, 2 =V2,∴.侧面积为Trl=V2T,故选A. 2.C【解析】设三棱锥的外接球半径为r,如图，将三 棱锥补成长方体，则有(2r)2=32+4452=50,即4=50，故它 的外接球的表面积S=4πr2=50π. 第2题答图 第3题答图 3.C【解析】如图，设Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=1, 则AB=2,AC=V3,求得斜边上的高CD=3,旋转所 2 得儿何体的体积分别为V=号π(V3)x1=m,V号mxI× V3=,=号Ya=2m故，：，y= 3 V3:1=6:2V3:3. 32 4.C【解析】用一个完全相同的 五面体HW-LMN(顶点与五面体 ABC-DEF一一对应)与该五面体相 嵌，使得D,NE,M;F,L重合， 因为AD∥BE∥CF,且两两之间距离 B 为1.AD=1,BE=2,CF=3,则形成的 第4题答图 新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的 直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形， 侧棱长为1+3=2+2=341=4，Vw=号听号×分X1X1× V3x4=V3.故选C 2 5.B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长 为VT2+3,而它们的侧面积相等，.2r×V3=Tr×V3+r 即2V了=V3+r,故3，故圆锥的体积为号πx9xV了= 3V3π.故选B. 6.A【解析】如图，连接BD,过点P作PO⊥底面 ABCD于点O,可知点O在BD上，连接OP,由题意，可 知OP⊥AB,即OP为三棱锥PAPB,的高.设AP=x,0< K1,则由题意，知0P/AD,有器器.即0A=1-x 又Sm=x,三棱锥PAPB的体积为号Sana0P=号× 分1-)加6k2月+≤京当号时等号成立， 三棱锥PAPB体积的最大值为4，故选A 第6题答图 7.ABC【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得 C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任 何侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D. 8.BCD【解析】作出圆台的轴 截面如图所示.由题意，知BF=14 寸，0C=6寸，0F=18寸，0G=9 寸，即G是OF的中点，.GE为梯 DO C 形0CBF的中位线，GE=14+6= 第8题答图 2 10(寸)，即积水的上底面半径为10寸.∴.盆中积水的体积 为写mx(100+36+10x6)x9=58m(立方寸).又盆口的面积 为14m=196m(平方寸)，·平均降雨量是588m=3(寸)， 196m 即平均降雨量是3寸. 9.2V2π【解析】设圆锥底面半径为1，则2m=2m, 3 解得r=1,圆锥的高h=V32-1=2V2,.圆锥的体积 /=号m㎡h=}mx1x2V2=2Y2.故答案为2V2m 3 3 10.20【解析】方法一：如图所示，连接EB,EC.由 题意，得VmF子×4X3=16.AB=2EFEF/AB,Sa= 2 Sww..Vw=-Vc63e=度e做=x分em=4V= VEABC+VFER=16+4=20. 方法二：如图所示，取AB,DC的中点G,H,连接 EG,GH,EH,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得棱柱 BGH-BC.由题意，得Vom=号S oX3=了X4x4K宁× 参考答案。 3=8,Vewm=3em=3a=3x分am=2eamr子x8= 2 2 12,∴V=Vg46H+VcH+Bc=8+12=20. D G 方法 方法二 第10题答图 11./15r【解析】由题意，知圆 A 锥的轴截面为正三角形.如图所示，当 球在容器内时，水深为3，水面的半 径为V3T,则容器内水的体积V=V网 V4=号(V3rP3r-号m多m将 3 第11题答图 球取出后，设容器内水的深度为h,则水面的半径为Y3, 3 从而容器肉水的体积”}…Y6h=号品，由 3 Γ9 V=V',得h=V5r,这时容器中水的深度为/5 12.16m[2V5+2,4V3] 5 【解析】过点O在平面ABCD内作 02 OG⊥D01,垂足为点G,如图所示，易 知0,021CD,0,0=4,0D=2,由勾股 定理，可得0D=V010+0D2=2V5, A 则由题，可得0G=1×000D=1× OD 2 第12题答图 2,设友0到平面加F的有药山，平gE 截得球的截面圆的半径为T1,ODC平面DEF,当OG⊥平 面DEF时，d取最大值OG,即d,≤OG=2Y5,= 5 V4≥V4号：45，∴平面D6F截得球的截面面 5 积最小值为x4了1曲题，可知点P在过球心 与圆柱的底面平行的截面圆上，设点 P在底面的射影为P',则PP=2,PE= V24PE=V4+PE,PF=V2+PF =V4+P2,由勾股定理，可得P2+ PF=16,令PF2=8-t,则PE=8+t, 第12题答图 其中-8≤t≤8，.PE+PF=V12+t+V12-t,(PE+PF)P= 81 N 高中数学必修第四册人教B版 (V12+t+V12-t)2=24+2V144-F∈[24+8V5,48],因 此，PE+PFe[2V5+2,4V3]. 13.解：()圆锥的底面半径=号，高为a,母线= V写：空a,挖去的圆维的侧面积为mem·号： ai Cn). (2)·M的体积为正方体体积减去圆锥的体积，M的 体积为a-号m受广a=l-晋m(cm). 14.解：(1)设圆台的母线长 为，由截得圆台上、下底面面积之 比为1：16，可设截得圆台的上、下 底面的半径分别为r,4r.过轴S0 作截面，如图所示.则△SO'A'∽ B △S0A,0A'=3,0A'=1, 0A4,0A= 第14题答图 12cm.又S0=24cm,.SA=V122+24=12V5(cm). AM'=圣SA=9V5cm,即圆台的母线长为9V万m (2)如图所示，过正方体的 体对角线作圆锥的轴截面，设正 方体的棱长为x,则OC=Y2x, 2 -2若.解得24V7 12 第14题答图 -1),.正方体的棱长为24(V2-1)cm. >m11.2平面的基本事实与推论 1.C【解析】由于点P在平面a外，.有P,又直 线a经过点P,.P∈a,故选C. 2.D【解析】由直线和直线外的一点确定一个平面， 可得D正确，故选D. 3.D【解析】不在同一条直线上的三个点可确定一个 平面，A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个 点，故不正确，故选D. 4.B【解析】设直线为a,直线a外不共线的三点为 A,B,C,则A,B,C三点确定一个平面；直线a与A确 定一个平面；直线a与B确定一个平面；直线a与C确定 一个平面，故最多可确定四个平面，故选B. 5.C【解析】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三 个接触点不在同一条直线，它们可以确定唯一一个平面， 因此自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一 82 个平面.故选C. 6.A【解析】平面与平面B相交，相交于一条直线， 因此它们有无限个公共点，A说法错误；由推论1知B说 法正确；由推论2知C说法正确；由推论3知D说法正确 故选A. 7.D【解析】当α过B与y的交线时，这三个平面有1 条交线；当B与y没有交线时，a与B和y各有1条交线， 共有2条交线：当B∩y=b,a∩B=a,a∩y=c时，有3条交 线.故选D. 8.∩a=A【解析】“直线L和平面相交于点A”的 符号表达为l∩a=A.故答案为l∩a=A. 9.1【解析】根据题意，P,Q点在直线l上，P是1与 a的交点，Q不在平面α内，直线和平面相交，只有一 个交点. 10.直线CD【解析】如图，平面ABC∩平面a=AB, 平面ABC∩平面B=CD. 第10题答图 11.2V6【解析】如图所示，取DD中点F,连接 AF,FC1,则菱形AECF为所求截面，易得对角线AC1= 2V3,-2V2,载面面积S=24GEF-2V6. D C B 第11题答图 第12题答图 12.证明：如图，连接EF,D,C,AB,E,F分别为 AB,AA1的中点，EF∥BA又BA1∥CD,EF∥CD, 且EF-CD.四边形EFDC是梯形，GE,DF相交。 设交点为P.·CEC平面ABCD,P∈CE,P∈平面ABCD, 同理可证P∈平面ADDA·又.平面ABCD∩平面ADDA1= AD,P∈AD,DA,CE,DF交于一点P,即DA,CE, DF三线共点. 13.(1)证明：连接BD1,E,F分别为D,C,B,C 的中点，.EF∥BD1.又BD1∥BD,EF∥BD.D,B,阶段性练 一、单选题 1.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等 腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为() A.V2 T B.2V2π C.2m D.4m 2.若一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂 直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表 面积是（) A.20V2 T B.25V2π C.50m D.200m 3.分别以一个锐角为30°的直角三角形 的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直 线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之 比是() A.1:V2:V3 B.6:2V3:V3 C.6:2V3:3 D.3:2V3:6 4.在如图五面体ABC DEF中，棱AD,BE,CF 互相平行，且两两之间距离 均为1.若AD=1,BE=2, B CF=3.则该五面体的体积为 第4题图 ( A.3 B.V3+ 6 4中2 C.V3 D.3V31 2 42 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧 第十一章立体几何初步 习卷（六） 面积相等，且它们的高均为V3，则圆锥的 体积为() A.2V3π B.3V3 m C.6V3 T D.9V3 T 6.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，点P,P2分别是线段AB,BD1(不包括 端点)上的动点，且线段PP平行于平面 AADD1,则三棱锥P2-APB1的体积的最大值 是() 1 A.24 B.2 Co D 二、多选题 7.一个正方体内接于一个球，过球心作 一截面，如图所示，则截面图形可能是 A B C D 8.我国古代数学名著《数书九章》中有 “天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨 时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆 盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2 寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则 平均降雨量不是（) (注：①平均降雨量等于盆中积水体积 除以盆口面积；②1尺等于10寸) A.3寸 B.4寸 练（49 N 高中数学必修第四册人教B版 C.5寸 D.6寸 三、填空题 9.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 3,且弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积等 于 10.如图所示，在多 面体ABCDEF中，已知面 ABCD是边长为4的正方 形，EF∥AB,EF=2,EF 与平面AC的距离为3，则 第10题图 该多面体的体积为 11.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面 是一个正三角形，在容器内放一个半径为 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切， 然后将球取出，则此时容器中水的深度为 12.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑 上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这 个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一 个圆柱容球，O,O2为圆柱两个底面的圆 心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径， 若球的半径R=2,则平面DEF截得球的截面 面积最小值为 ;若P为球面和圆柱 侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围 为 0 20 E 第12题图 50)练 四、解答题 13.在正方体ABCD-ABCD1中挖去一 个圆锥，得到一个几何体M,已知圆锥顶点 为正方形ABCD的中心，底面圆是正方形 AB,CD的内切圆，若正方体的棱长为acm. (1)求挖去的圆锥的侧面积. (2)求几何体M的体积. 14.如图所示，用一个平行于圆锥S0底 面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面 的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半 径为3cm,圆锥S0的高为24cm. (1)试求圆台的母线长1. (2)若该圆锥中有一内接正方体，试求 正方体的棱长， 第14题图