11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦祖暅原理及柱、锥、台、球的体积计算这一核心知识点，先通过祖暅原理推导体积公式，再以“微点助解”揭示柱体、锥体作为台体特殊形式的逻辑关系，构建“原理—公式—应用”的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过题型分类与“思维建模”培养学生数学思维，结合玛雅金字塔、预制件等实例提升数学语言表达能力。课中助力教师分层教学，课后通过基础与针对训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 第1课时　柱、锥、台的体积 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解祖暅原理,了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体、球的体积公式的过程. 2.掌握利用柱体、锥体、台体的体积公式,能运用公式解决简单的实际问题. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.祖暅原理 祖暅原理 幂势既同,则积不容异 原理解读 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等 原理图示 2.柱体、锥体、台体、球的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱 体 棱柱 V=Sh h为棱柱的高, S为棱柱的底面面积 圆柱 V=πr2h=Sh r为圆柱的底面半径, h为圆柱的高, S为圆柱的底面面积 锥 体 棱锥 V=Sh h为棱锥的高, S为棱锥的底面面积 圆锥 V=πr2h=Sh r为圆锥的底面半径, h为圆锥的高, S为圆锥的底面面积 台 体 棱台、 圆台 V台体=(S上+ S下+)h S上,S下分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高 球 V球=πR3 R为球的半径 |微|点|助|解| 　 　　柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体.当S上=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式,当S上=S下=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. (　　) (2)锥体的体积等于底面积与高的乘积. (　　) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (　　) (4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等,则它们的体积比为3∶1. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是 (　　) A. B. C. D.1 答案:A 3.直径为1的球的体积是 (　　) A.1 B. C. D.π 解析:选B　由R=,得V=πR3=×π×=. 4.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是　　　　.  解析:易知圆锥的高h=4,所以V圆锥=π×32×4=12π. 答案:12π 5.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是　　　　　.  解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,∴(abc)2=108.∴V=abc=6. 答案:6 题型(一)　棱柱与圆柱的体积 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例1]　(1)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为 (　　) A. m3 B. m3 C.1 m3 D. m3 (2)已知圆柱的底面周长为4π,高为4,则它的体积为 (　　) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析:(1)设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=.所以六棱柱的体积为V=××6×=(m3). (2)设圆柱的底面半径为r,则2πr=4π,解得r=2,则该圆柱的体积为π×22×4=16π. 答案:(1)B　(2)D |思|维|建|模| 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离,其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等,都是高;圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量. 　　[针对训练] 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 (　　) A.π B.2π C.4π D.8π 解析:选B　设圆柱母线长为l,底面半径为r, 由题意得解得 ∴V圆柱=πr2l=2π. 2.在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为　　　　.  解析:设AC=a,CC1=b,则BD=C1D=,BC1=.因为△BC1D是面积为6的直角三角形,所以解得所以此三棱柱的体积V=×8×4=8. 答案:8 题型(二)　棱锥与圆锥的体积 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例2]　(1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 (　　) A.π B.π C.3π D.3π (2)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　.  解析:(1)在△AOB中,∠AOB=120°,OA=OB=.取AB的中点C,连接OC,PC,则OC⊥AB,PC⊥AB.如图,∠ABO=30°,OC=,AB=2BC=3.由△PAB的面积为,得×3×PC=,解得PC=.所以PO===.所以圆锥的体积V=π×OA2×PO=π×()2×=π. (2)∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120, ∴CC1·S四边形ABCD=120. 又E是CC1的中点,∴V三棱锥E-BCD=EC·S△BCD=×CC1×S四边形ABCD=×120=10. 答案:(1)B　(2)10 |思|维|建|模| (1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥. (2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等体积法. (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维模式和化归的数学思想.　 　　[针对训练] 3.已知圆锥的表面积为12π m2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 (　　) A.6π m3 B.π m3 C.π m3 D. m3 解析:选B　设圆锥的底面半径为r,侧面展开图的半圆半径为R,则2πr=×2πR,即R=2r. 故圆锥的表面积为S=πr2+πR2=3πr2=12π,解得r=2,圆锥的高为h==2. 故圆锥的体积为V=πr2·h=×4π×2=π.故选B. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则AA1=　　　　.  解析:由题意知=-=2×2·AA1-××2×2·AA1=AA1=10,∴AA1=3. 答案:3 题型(三)　棱台与圆台的体积 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为　　　　.  解析:如图所示,设点O1,O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接B1D1,BD,则点O1,O分别为B1D1,BD的中点,连接O1O,则O1O为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,过点B1作B1E⊥BD,垂足为E,则B1E=O1O.因为AB=2,A1B1=1,所以OB=,O1B1=.所以BE=OB-OE=OB-O1B1=.又AA1=,所以BB1=,B1E===.所以O1O=.所以=×(22+12+)×=. 答案: |思|维|建|模| 　　台体的体积计算公式是V=(S上+S下+)h,其中S上,S下分别表示台体的上、下底面的面积,这一公式较为复杂,要求记准.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高,求解相关量时,应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外,台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 　　[针对训练] 5.金字塔一直被认为是古埃及的象征,然而,玛雅文明也有类似的建筑,玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑.玛雅金字塔由巨石堆成,其下方近似为正四棱台,顶端是祭神的神殿,其形状近似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29 m,金字塔的塔基(正四棱台的下底面)的周长为220 m,塔台(正四棱台的上底面)的周长为52 m,神殿底面边长为9 m,高为6 m,则该玛雅金字塔的体积为　　　　m3.  解析:设塔基的边长为a,塔台的边长为b,正四棱台的高为h,神殿的高为h', 由已知,4a=220,4b=52,h+h'=29,h'=6, 所以a=55,b=13,h=23. 所以正四棱台的下底面积S1=552=3 025(m2),上底面积S2=132=169(m2). 所以正四棱台的体积V1=(S1+S2+)h=(3 025+169+715)×23=29 969(m3). 因为神殿的形状为正四棱柱,底面边长为9,高为6, 所以神殿的体积V2=81×6=486(m3). 所以该玛雅金字塔的体积V=29 969+486=30 455(m3). 答案:30 455 题型(四)　简单组合体的体积 [例4]　如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积. 解:在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°, ∴CD==2a,AB=CDsin 60°=a, ∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a, ∴DO=DD'=a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 由上述计算知,圆柱母线长a,底面半径2a,圆锥的母线长2a,底面半径a. ∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2,圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2, ∴组合体上底面积S5=S3-S4=3πa2,∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3, V锥=S'h=·π·a2·a=πa3, ∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3. |思|维|建|模| 　　在求组合体体积时,要先把组合体切割成几个基本几何体,分别计算体积后再相加,解题时注意补形法的应用. 　　[针对训练] 6.(2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 (　　) A. B.+ C. D.- 解析:选C　因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C. 7.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位:米),浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土?(钢筋体积略去不计,精确到0.01立方米) 解:将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体. S底=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米),V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米). 所以浇制一个这样的预制件大约需要13.39立方米混凝土. 学科网（北京）股份有限公司 $