11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 (教师独具内容) 课程标准：知道柱体、锥体、台体和球的体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：柱体、锥体、台体和球的体积公式的运用． 教学难点：祖暅原理及台体体积公式的推导． 核心素养：通过柱体、锥体、台体和球的体积的计算，培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　祖暅原理 1．祖暅原理 幂势既同，则积不容异． 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． 2．祖暅原理的应用 (1)等底面积、等高的两个柱体，体积相等． (2)等底面积、等高的两个锥体，体积相等． 知识点二　柱体、锥体、台体、球的体积 其中S表示柱体、锥体的底面积，S1，S2分别表示台体的上、下底面的面积，h表示高，R表示球的半径． 名称 体积(V) 柱体 Sh 锥体 Sh 台体 (S2＋＋S1)h 球 πR3 [提醒]　台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． 知识点三　组合体 常见的组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的． 1．(棱锥体积的计算)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(　　) A. B. C. D．1 答案：A 2．(球体积与表面积的相关计算)若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案：C 3．(棱台体积的计算)已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为____． 答案：28 4．(组合体体积的计算)等腰直角三角形ABC的面积为1，以斜边AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为____． 答案： 题型一　柱体的体积　 　正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积． [解]　如图为正三棱柱ABC－A1B1C1， 则有AB1＝2， ∠B1AB＝45°， ∴AB＝BB1＝， ∴S△ABC＝×××＝， ∴V三棱柱＝×＝. 【感悟提升】　求柱体体积的关键 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素． 【跟踪训练】 1．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积． 解：如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r， ∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝. ∴内接正四棱柱的底面边长 a＝2rsin45°＝r. ∴V＝S正四棱柱底×h＝(r)2×2r＝4r3 ＝4×＝S， 即等边圆柱的内接正四棱柱的体积为S. 题型二　锥体的体积　 　如图所示，三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，求四棱锥S－BCED的体积． [解]　三棱锥S－ABC的体积V＝××SB×SC×SA＝×4×3×5＝10. ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴S△ADE＝S△ABC， ∴S四边形BCED＝S△ABC， ∴四棱锥S－BCED的体积是三棱锥S－ABC体积的，∴VS－BCED＝×10＝. 【感悟提升】　求锥体体积的关键 求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素的求解常常是放到平面图形中来处理的．对于锥体中相关元素的求解常常要构造直角三角形，应用勾股定理进行求解． 【跟踪训练】 2．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π B.π C．3π D．3π 答案：B 解析：在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，则OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积等于，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B. 题型三　台体的体积　 　已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求该棱台的高和体积． [解]　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别是上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0， 所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0. 上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325， 所以h0＝ cm. 又O′D′＝××20＝(cm)， OD＝××30＝5(cm)， 记棱台的高为h，则 h＝O′O＝ ＝＝4(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V＝(S上＋S下＋)＝×＝1900(cm3)． 【感悟提升】　求台体体积的关键 (1)求台体的体积，其关键在于求高，在台体中，一般把高放在等腰梯形中去求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键． 【跟踪训练】 3.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求： (1)AD的长； (2)容器的容积． 解：(1)设圆台的上、下底面半径分别为r，R，AD＝x， 则OD＝72－x，由题意，得 ∴即AD的长为36 cm. (2)∵2πr＝×OD＝×36＝12π(cm)， ∴r＝6(cm)， 圆台的高h＝ ＝＝6(cm)． ∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝×6×(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)． 即容器的容积为504π cm3. 题型四　与球有关的体积问题　 　(1)一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到截面的距离为，则此球的体积为(　) A.π B．4π C．4π D．6π [解析]　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π×()3＝4π. [答案]　B (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　) A．3πa3 B.πa3 C．12πa3 D．8πa3 [解析]　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的体积V＝πR3＝πa3. [答案]　B (3)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　) A. B. C. D. [解析]　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是π×13＝. [答案]　A 【感悟提升】　 1．球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 2．球与几何体的切、接问题的解题思路 (1)球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上．解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解． (2)解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． 【跟踪训练】 4．(1)一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为____． 答案： 解析：设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋()2＝R2，∴R＝2，∴V＝πR3＝. (2)在三棱锥P－ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC外接球的体积为____． 答案： 解析：以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′长，设外接球的半径为R，则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，R＝，则所求体积为V＝πR3＝×＝. (3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是____cm. 答案：4 解析：设球的半径为r cm，由等体积法得πr2×6r＝πr3×3＋8πr2，解得r＝4. 题型五　组合体的体积　 　如图所示，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，求该多面体的体积． [解]　解法一：如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH－FBC. 由题意，得VE－AGHD＝S四边形AGHD×2＝×3×3××2＝3， VEGH－FBC＝××3×2＝， ∴V＝VE－AGHD＋VEGH－FBC＝3＋＝. 解法二：如图所示，连接EB，EC，则VE－ABCD＝×32×2＝6. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴VF－EBC＝×VE－ABCD＝. ∴V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝6＋＝. 【感悟提升】　求解不规则几何体体积的基本策略 求解不规则几何体的体积问题，若几何体是组合体，则主要是将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，然后根据相关公式求解，还有很多的题在求解时主要应用转化思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则几何体转化为常见的几何体． 【跟踪训练】 5.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴旋转一周．求旋转体的体积． 解：由题意知，CD＝＝2a， AB＝CDsin60°＝a， ∴DO＝BC－AD＝a. 由题易知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，且 V柱＝π×(2a)2×a＝4πa3， V锥＝×π×a2×a＝πa3， ∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. 1．若两球表面积之比为4∶9，则其体积之比为(　　) A．8∶27 B．16∶81 C．64∶729 D．2∶3 答案：A 解析：设两球的半径分别为r，R，则有4πr2∶4πR2＝4∶9，∴r∶R＝2∶3，∴两球的体积之比为πr3∶πR3＝r3∶R3＝8∶27.故选A. 2．(2024·山东威海高一下期末)有一个正四棱台形状的油槽，最多装油215 L，已知它的两底面边长分别为80 cm和50 cm，则它的深度为(　　) A．40 cm B．50 cm C．60 cm D．70 cm 答案：B 解析：215 L＝215 dm3，而80 cm＝8 dm，50 cm＝5 dm，设棱台的深度为h dm，由棱台的体积公式可得，×(82＋52＋)h＝215，解得h＝5 dm＝50 cm. 3．(2024·天津高一下期中)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．若球的半径为R，酒杯内壁的表面积为πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　) A．2 B. C．1 D. 答案：A 解析：设圆柱的高为h，由题意可知2πRh＋×4πR2＝πR2，得h＝R.酒杯上部分(圆柱)的体积为V1＝πR2h＝πR3，酒杯下部分(半球)的体积为V2＝×πR3＝πR3，则＝＝2.故选A. 4．一个圆柱的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的____倍． 答案：n 解析：设原来圆柱的底面半径为r，高(即母线长)为h，根据题意，得新圆柱的底面半径为nr，高为h，∴V原柱＝πr2h，V新柱＝π×(nr)2×＝nπr2h，∴V新柱∶V原柱＝nπr2h∶πr2h＝n∶1.故所得的圆柱的体积为原来的n倍． 5．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积． 解：如图所示，连接AB1，AC1， 设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h， ∵B1E＝CF， ∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积． 又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等， ∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C. 又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1×h， VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1×h＝m， ∴VA－A1B1C1＝， ∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝m. ∴VA－BEFC＝×m＝， 即四棱锥A－BEFC的体积是. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 长方体体积的计算 圆锥体积的计算 球与圆柱的体积的相关计算 组合体体积的相关计算 圆锥体积的计算 与棱锥体积有关的动点问题 正三棱柱的侧面展开图与其体积的相关计算 棱台体积的计算　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 圆台体积的计算　 圆锥的侧面展开图及其体积的相关计算 柱体体积的相关计算 组合体的体积的相关计算；棱柱外接球与内切球的表面积及体积的计算 锥体体积的相关计算 组合体(五面体)体积的计算 旋转体表面积与体积的相关计算 圆柱外接球表面积的计算；组合体(两个四面体)体积的计算 一、单选题 1．长方体的三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积为(　　) A．7 B．8 C．3 D．6 答案：D 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则则V＝abc＝＝6.故选D. 2．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题设知圆锥的高、底面半径均为2，所以圆锥的体积为×2×π×22＝.故选C. 3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 答案：D 解析：设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，所以h＝4R. 4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×××××＝，所以剩下的几何体的体积为1－＝. 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 二、多选题 6.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则下列说法不正确的是(　　) A．三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F的位置有关 B．三棱锥A′－EFQ的体积与点Q的位置有关 C．三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关 D．三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值 答案：ABC 解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，点A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××2×4×4＝，是定值，因此三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关． 7．(2024·海南高一下期中)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm、宽为6 cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为(　　) A. cm3 B. cm3 C．6 cm3 D．9 cm3 答案：BD 解析：因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm、宽为6 cm的矩形，所以正三棱柱的底面边长可为3 cm，高为6 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×3×3×sin60°×6＝ cm3，或正三棱柱的底面边长可为2 cm，高为9 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×2×2×sin60°×9＝9 cm3.故选BD. 三、填空题 8．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为____． 答案： 解析：如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高． 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝AO－A1O1＝，则A1M＝＝＝，所以所求棱台的体积V＝×(4＋1＋)×＝. 9．(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为____． 答案： 解析：由题意可得，两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，h乙＝＝2(r2－r1)，所以＝＝＝＝. 10．已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为______． 答案：3π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h.∵圆锥侧面展开图为半圆，∴侧面展开图扇形弧长为πl＝2πr，解得l＝2r.作出圆锥的轴截面如图所示，其中O为圆锥内切球球心，∵h＝＝r，∴S△PAB＝·2r·h＝r2，又S△PAB＝(2l＋2r)×1＝3r，∴r2＝3r，解得r＝，h＝3，∴圆锥的体积V＝πr2h＝π×3×3＝3π. 四、解答题 11．(2024·江苏南京高一下期末)一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，E1，F1分别为所在棱的中点，求图甲中水面的高度． 解：设△ABC的面积为S， 因为E，F，E1，F1分别为所在棱的中点， 则＝，S△AFE＝S， 所以S四边形BCFE＝S， 所以VBCFE－B1C1F1E1＝S×＝S， 设图甲中水面高度为h，则Sh＝S， 解得h＝， 即图甲中水面的高度为. 12．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm. (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积． 解：(1)因为底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm， 由勾股定理逆定理可知，底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3 cm，4 cm， 又因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2 cm， 所以VABC－A1B1C1＝×3×4×2＝12 cm3. 设圆柱底面圆的半径为r， 则r＝＝＝1， 圆柱的体积VOO1＝π×12×2＝2π(cm3)． 所以剩余部分几何体的体积V＝(12－2π) cm3. (2)由(1)可知该直三棱柱的内切球半径为1 cm， 则内切球的体积V＝π×13＝ cm3. 直三棱柱ABC－A1B1C1可补形为棱长分别为3 cm，4 cm，2 cm的长方体， 它的外接球的半径R满足 2R＝＝， 即R＝ cm， 所以该直三棱柱的外接球的表面积为S＝4π×＝29π cm2. 13．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为(　　) A．2 cm B. cm C. cm D. cm 答案：D 解析：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H＝×8＝(cm)，底面圆的半径r＝×4＝(cm)，故细沙的体积V＝πr2H＝××＝(cm3)．当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4 cm，设高为H′，则×42×H′＝，解得H′＝ cm.故此圆锥形沙堆的高为 cm. 14．(2024·天津高考)一个五面体ABC－DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3.则该五面体的体积为(　　) A. B.＋ C. D.－ 答案：C 解析：如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相嵌，使得新组合体为一个三棱柱，记为ABC－HIJ，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以VABC－DEF＝VABC－HIJ＝××1×1××4＝.故选C. 15.(2024·福建泉州高一下期中)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈． (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 解：(1)根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体． (2)该组合体的表面积为 S组合体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球 ＝π×4×4＋2π×4×4＋×4π×42 ＝(16＋64)π， 组合体的体积为 V组合体＝V圆锥＋V圆柱－V半球 ＝×π×42×4＋π×42×4－××π×43＝. 16．(2024·山西太原高一下期中)如图，圆柱O1O2的底面半径为1，侧面积为2π，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点A在下底面的投影点A′平分圆弧. (1)若圆柱上下底面的圆周均在球O的表面上，求球O的表面积； (2)求四面体A－BCD的体积． 解：(1)设圆柱的高为h，由圆柱O1O2的侧面积为2π，底面圆半径r＝1，得2πr·h＝2π，解得h＝1， 设球O的半径为R，由对称性知，球心O为线段O1O2的中点，则R2＝r2＋＝， 所以球O的表面积为4πR2＝5π. (2)连接O1C，O1D，则四面体A－BCD的体积等于四面体A－O1CD和B－O1CD的体积之和， 由CD为圆柱下底面圆的直径，得平面O1CD截圆柱所得的截面是圆柱的轴截面， 又AB为圆柱上底面圆的直径，且点A在下底面的投影点A′平分圆弧， 因此点A，B到平面O1CD的距离相等，均为1， 则四面体A－O1CD的体积V＝××2×1×1＝， 所以四面体A－BCD的体积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$