11.1.5 旋转体-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学旋转体核心知识点，系统梳理圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征、性质及相关计算，从概念理解到性质探究，再到计算应用及组合体表面积，形成递进式学习支架。 资料通过“多维理解”表格对比、“微点练明”实例辨析、“思维建模”方法总结，培养学生用数学眼光观察现实世界（如蒙古包结构），用数学思维分析特征（如轴截面性质），用数学语言解决问题（如表面积计算）。课中辅助教师逐点教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

11.1.5　旋转体 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.　2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 3.能运用圆柱、圆锥、圆台、球特征描述现实生活中简单物体的结构. 逐点清(一)　圆柱、圆锥、圆台 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念 圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 旋转 体 用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体 轴 旋转轴称为旋转体的轴 高 在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线 轴截 面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面 图形 表示 上图可表示为 圆柱OO' 上图可表示为 圆锥SO 上图可表示 为圆台OO' 2.探究圆柱、圆锥、圆台的特征性质 圆柱 圆锥 圆台 底面 两个相同的圆面，两圆所在的平面互相平行 圆面 两个半径不等的圆面，两圆所在的平面互相平行 平行于底 面的截面 与底面相同的圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 过轴的截面(简称轴截面) 有无数个，且都是全等的矩形，一边长是底面圆的直径，另一边长等于母线长 有无数个，且都是全等的等腰三角形，腰是母线，底边是底面圆的直径 有无数个，且都是全等的等腰梯形，腰是母线，上、下底边分别是两底面圆的直径 母线 有无数条，它们相互平行且均等于高 有无数条，相交于顶点且等长 有无数条，延长后相交于一点且等长 [微点练明] 1.(多选)下列关于圆柱的说法正确的是 (　　) A.圆柱的所有母线长都相等 B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 解析:选ABD　圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，故A正确；用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，故B正确；用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，故C错误；一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，故D正确. 2.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是 (　　) 解析:选A　根据定义，A中图形形成的是圆台，B中图形形成的是球，C中图形形成的是圆柱，D中图形形成的是圆锥. 3.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B.正四棱锥的侧面都是正三角形 C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 答案:ACD 4.以下命题正确的是 (　　) A.直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 解析:选C　直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故C正确；当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错误. 5.若圆柱的母线长为10，则其高为　　　　.  解析:圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 答案:10 逐点清(二)　球 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.球的有关概念 球面 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 球 球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体 球心 形成球面的半圆的圆心称为球的球心 球的 半径 连接球面上一点和球心的线段称为球的半径 球的 直径 连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径 球的 大圆 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆 球的 小圆 球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 球面 距离 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长称为两点的球面距离 2.球的表示 用表示球心的字母来表示球，如图所示的球，可表示为球O. 3.球的截面的性质 (1)球的截面是圆面，不是圆. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面α的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式 r=. 4.球的表面积 如果球的半径为R，那么球的表面积为S=4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍. [微点练明] 1.(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.过球面上任意两点只能作球的一个大圆 B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C.用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D.半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面称为球面 解析:选BCD　过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A不正确；由球及球面的概念可知B、C、D均是正确的. 2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 (　　) A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍 解析:选C　设最小球的半径为r，由三个球的半径之比为1∶2∶3，得另外两个球的半径分别为2r，3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2.所以=. 3.过半径为5的球O内一定点P的平面，被球截得的圆面的直径为8，则球心到定点的距离最小值为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选C　如图，当截面AB与OP垂直时，OP最短，过球心O和P作平面可得球的一个大圆面.在等腰三角形OAB中，P为AB中点，且OA=5，AP=4，所以OP=3. 4.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的表面积为 (　　) A.4π B.8π C.12π D.32π 解析:选C　如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点， 则OO'=，O'M=1， ∴OM==，即球的半径为.∴S=4π()2=12π. 逐点清(三)　圆柱、圆锥、圆台的相关计算 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为 (　　) A. B. C. D. (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为　　　　.  解析:(1)设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，所以圆锥的高为r，母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2，圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A. (2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l===5r=10，所以r=2，R=8. 故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π， S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 答案:(1)A　(2)168π |思|维|建|模| 　　圆柱、圆锥、圆台的表(侧)面积的求解策略 (1)圆柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的侧面积计算公式即可得解. (2)圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底面周长”求母线长和底面半径.此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形. (3)求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键在于求侧面积.“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法.　 　　[针对训练] 1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 (　　) A.4π B.3π C.2π D.π 解析:选C　易知所得几何体为圆柱，其底面圆的半径为1，高为1，侧面积S=2π×1×1=2π.故选C. 2.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为　　　　.  解析:设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r.由母线长为10可知，10==5r，解得r=2.所以圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π. 答案:100π 3.轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长. 解:如图所示，作出等边圆锥的轴截面SAB， 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则在轴截面SAB中，有OB=r，SO=h，SB=l，且∠SBO=60°.在Rt△SOB中，h=r，l=2r， 所以S△SAB=×AB×SO=rh=r2. 根据题意得r2=，解得r=1. 所以l=2r=2，h=r=. 故该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2. 逐点清(四)　组合体的表面积 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　如图1，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图2，已知圆柱的底面直径AB=16米，母线长AD=4米，圆锥的高PQ=6米，则该蒙古包的侧面积约为 (　　) A.336π平方米 B.272π平方米 C.208π平方米 D.144π平方米 解析:选D　依题意得，圆柱的侧面积 S1=2π××AD=2π××16×4=64π. ∵DC=AB=16，∴QC=DC=×16=8. 在Rt△PQC中，PC===10， ∴圆锥的侧面积S2=×PC×2π×QC=×10×2π×8=80π.∴该蒙古包的侧面积S=S1+S2=64π+80π=144π. |思|维|建|模| 　　几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时不应直接套用柱、锥、台体的表面积公式，而应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解. 　　[针对训练] 4.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为 (　　) A.18π B.20π C.π D.26π 解析:选A　由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高h=3，则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrh=8π+4π+2π×1×3=18π. 5.如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为30 cm的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为10 cm.为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分(除与地面直接接触的底面之外的表面)涂上防氧化层，求涂层的总面积.(精确到0.01 cm2) 解:由题意可知，S涂层=S正六面体上底面+S正六面体侧面积+S圆柱侧面积-S圆柱上底面 =cm2=(1 350+5 400+500π)cm2≈9 309.06 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $