11.1.4 棱锥与棱台-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“棱锥与棱台”核心知识点，先通过“逐点清(一)”梳理棱锥的定义、底面侧面等元素、分类及正棱锥特征，再“逐点清(二)”讲解棱台的形成、元素及正棱台，最后“逐点清(三)”探究正棱锥与正棱台的侧面积计算，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以“逐点理清+多维理解+微点练明”为特色，用表格对比正棱锥与其他棱锥的结构特征，帮助学生用数学眼光抽象几何属性，微点练明中正方体顶点构造三棱锥的题目培养数学思维的推理能力，符号表示（如棱台ABCD-A1B1C1D1）体现数学语言的精确表达。课中助力教师系统授课，课后通过典例和训练帮助学生查漏补缺。

11.1.4　棱锥与棱台 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.能根据棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念及表示方法. 2.能运用棱锥、棱台的特征描述现实生活中简单物体的结构和进行相关计算. 逐点清(一)　棱　锥 　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 底面 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面 侧面 有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面 顶点 各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点 侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱 高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高 图示 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积. 2.棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥. 3.棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.例如，如上图所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC. 4.正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥.可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高. 5.棱锥的结构特征 几何 体 侧面 侧棱 底面 高 平行于 底面的 截面 正棱 锥 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 一个正多边形 顶点与底面的中心的连线 与底面 相似 其他 棱锥 三角形 有一个公共顶点 一个多边形 顶点到底 面的距离 与底面 相似 [微点练明] 1.下列关于棱锥的说法正确的是 (　　) A.四棱锥共有四条棱 B.五棱锥共有五个面 C.六棱锥的顶点有六个 D.任何棱锥都只有一个底面 解析:选D　四棱锥共有八条棱，故A错误；五棱锥共有六个面，故B错误；六棱锥的顶点有七个，故C错误；由棱锥的定义知D正确. 2.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 (　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 解析:选D　正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，则h2+r2=l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D. 3.(多选)一个几何体的棱数是偶数，则这个几何体可能是 (　　) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析:选ACD　三棱锥有6条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱有12条棱. 4.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. 解:(1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(或三棱锥A-A1BD，三棱锥B-AB1C，三棱锥C-BDC1，三棱锥D-ACD1，三棱锥B1-A1BC1，三棱锥C1-B1CD1，三棱锥D1-A1C1D，答案不唯一). (2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(或三棱锥A1-BDC1答案不唯一). 逐点清(二)　棱　台 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.棱台的概念 棱台 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图示 上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面 下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面 侧面 除去上底面和下底面，其余各面称为棱台的侧面 侧棱 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱 高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高 表示 棱台可用上底面与下底面的顶点的字母来表示，如图中的棱台可表示为棱台ABCD-A1B1C1D1 2.棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 3.正棱台 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高. [微点练明] 1.下面四个几何体中，是棱台的是 (　　) 答案:C 2.有下列四种叙述，其中正确的是 (　　) A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析:选D　A中的平面不一定平行于底面，故A错；由棱台的定义知，D正确；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错. 3.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4.已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为 (　　) A.12 B.9 C.6 D.3 解析:选D　∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则32∶h2=1∶4，∴h=6.∴棱台的高是6-3=3，即棱台的上、下底面的距离为3. 4.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有　　　　条，分别是　　　　　　　　　　　.  解析:因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形， 所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1. 故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条. 答案:3　CD，A1B1，C1D1 逐点清(三)　棱锥、棱台的相关计算 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.正棱锥的侧面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，如图所示.因此正棱锥的侧面积就是这些等腰三角形的面积之和.若正n棱锥的底面边长为a，底面周长c=na，斜高为h'，则正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=nah'=ch'. 2.正棱台的侧面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，如图所示.因此正棱台的侧面积就是这些等腰梯形的面积之和.设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a'，周长为c'，斜高为h'，则正棱台的侧面积等于上、下底面周长和的一半与斜高的乘积，即S正棱台侧=n(a+a')h'=(c+c')h'. [典例]　(1)已知一个正三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是 (　　) A.4 B.3 C.2 D. (2)“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示.其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm.“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 (　　) A.8 　B.16 C.2 D.4 解析:(1)因为一个正三棱锥O-ABC的每一个面都是边长为1的正三角形，所以一个面的面积S△ABC=×1×1×=，故三棱锥的表面积为×4=. (2)由题意知四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为=2 dm，所以“斗”的所有侧面的面积之和为S1=4×(6+2)×2=32 dm2，下底面的面积为S2=4 dm2，所以=8. 答案:(1)D　(2)A |思|维|建|模| (1)有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形:正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形. (2)关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形:正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形.　 　　[针对训练] 1.如图，ABC-A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥P-A1B1C1的棱长都是3，如图2，点P在底面A1B1C1的射影是底面三角形的中心，高PO==，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.故选C. 2.如图所示，正四棱台AC'的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解:设棱台两底面的中心分别是O和O'，B'C'，BC的中点分别是E'，E.连接O'O，E'E，O'B'，OB，O'E'，OE，则四边形OBB'O'，四边形OEE'O'都是直角梯形. 如图，在正方形ABCD中， ∵BC=16 cm， ∴OB=8 cm，OE=8 cm. 在正方形A'B'C'D'中， ∵B'C'=4 cm， ∴O'B'=2 cm，O'E'=2 cm. 在直角梯形O'OBB'中， BB'= ==19(cm). 在直角梯形O'OEE'中， EE'= ==5(cm). 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $