11.1.4 棱锥与棱台-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

O数学·必修第四册（配RJB版） 11.1.4 棱锥与棱台 学业标准 素养目标 1.通过将现实生活中的实物抽象为棱锥和棱台， 1.理解棱锥和棱台的定义和结构特征.（重点）》 培养数学抽象和直观想象核心素养 2.能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中 2.通过棱锥和棱台中的数量关系的计算，主要培 的线段数量关系和位置关系.（难点）》 养数学运算核心素养， 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 续表 导学1棱锥的概念与几何特征 棱锥的底面 是 的那个面 有公共顶点的各三 棱锥的侧面 角形. 棱锥的顶点 各侧面的 问题1上图中的几何体是什么几何体？ 相关 侧棱 的公共边 概念 过棱锥的顶点作棱锥底 棱锥的高 面的 ,所得到的线段 问题2上图中的几何体有什么共同的结构 (或它的长度). 特征？ 棱锥所有侧面的面积 棱锥的侧面积 之和. 按底面的形状可以分为三棱锥、四棱 分类 ◎结论形成 锥、五棱锥…… 棱锥的概念与几何特征 如果棱锥的底面是正多边形， 如果一个多面体有一个面是 且棱锥的顶点与底面中心的连 定义 且其余各面都是有一个公共顶点的 定义 线垂直于底面，则称这个棱锥 ,则称这个多面体为棱锥 为正棱锥。 一顶点 正棱锥 图形 侧面 斜高 侧面等腰三角形底边上的高。 侧棱 及 D 底面 侧面都全等，而且都是等腰三 表示 B 特征 可记作：棱锥P-ABCD或棱锥P-AC 角形，斜高也相等。 52 第十一章 立体几何初步。 导学2棱台的概念及结构特征 续表 定义 由 截得的棱台. 高 上下 的连线。 正棱台 斜高 侧面等腰梯形的高。 问题1上图中的几何体是什么几何体？ 侧面都全等，而且都是等腰梯 特征 形，斜高也相等. 基础自测 问题2棱台与棱锥有什么关系？ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)棱锥的所有面都可以是三角形.() (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角 ⊙结论形成 形的几何体叫棱锥。 棱台的定义及结构特征 (3)若一个棱锥的侧面都是等腰三角形，那 么这个棱锥是正棱锥， ( 用 去截棱锥，所得 定义 (4)棱台的侧面是等腰梯形 截面与底面间的多面体称为棱台. 2.下面四个几何体中，是棱台的是 图形 D 及 表示 B 可记作：棱台ABCD-A1BCD1. 3.(多选题)如图所示的几 何体，关于其结构特征， D 下底面：原棱锥的 棱台的底面 下列说法正确的是 上底面：原棱锥的 ( 除上、下底面外的其 棱台的侧面 A.该几何体是由两个同底的四棱锥组 余面 成的 侧棱 的公共边 B.该几何体有12条棱、6个顶点 相关 C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形 概念 过棱台一个底面上的任 意一个顶点，作另一个 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边 棱台的高 形，其余均为三角形 底面的垂线所得到的线 段（或它的长度）. 4.下列说法正确的有 .(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有 棱台所有侧面的面积 棱台的侧面积 一个公共点； 之和 ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是 按底面的形状可以分为三棱台、四棱 分类 梯形； 台、五棱台… ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 53 O数学·必修第四册（配RJB版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 棱锥、棱台的结构特征 [自主解答] 例1下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间 的部分组成的几何体叫棱台. ②棱台的侧面一定不会是平行四边形， ③棱锥的侧面只能是三角形， ④由四个面围成的封闭图形只能是三 棱锥。 ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是 棱锥。 其中正确说法的序号是 规律方法 认识、判断棱柱、棱锥、棱台的结构特征，主要 从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述，因此只 : [母题变式] 有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清各几 1.(变条件)将本例中“侧棱长为2√3”，改为 何体的属性。 [触类旁通] “斜高为2√3”，则结论如何？ 1.如图所示，三棱台A'B'C'-ABC截去 棱锥A'-ABC后，剩余部分几何体是 ( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.不规则几何体 题型二 棱锥的有关计算 一题多变 例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为 2√3，求正三棱锥的高 54 第十一章立体几何初步。 2.(变条件)将本例中“三棱锥”改为“四棱 题型三棱台的有关计算 锥”，如何解答？ 例3如图，正四棱台ABCD-A,B,C1D1的 上底面是边长为2的正方形，下底面是边 长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等 的等腰梯形，求正四棱台的表面积. D [自主解答] [素养聚焦]通过对棱锥的相关量的计算， 培养直观想象与数学运算核心素养。 规律方法… 有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的 关键是要把所求线段转化到直角三角形中，需用 到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切 圆的半径所构成的直角三角形：正棱锥的高、侧棱 和底面外接圆的半径所构成的直角三角形.如本 题中的Rt△SOD,Rt△SOB,它们包含了正棱锥 的高、斜高、侧棱等基本量。 : [触类旁通] 2.如图，S-ABC是正三棱锥且侧棱长为a, E,F分别是SA,SC上的动点，三角形 BEF的周长的最小值为√2a,则侧棱SA, SC的夹角为 () A.30 B.60° C.20 D.90° 一 55 O数学·必修第四册（配RJB版） 规律方法 在等边△ABC中，AB=4, 正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1,O分 则0A=4,0E-2A 31 ……(4分) 别为上，下底面中心，作OE1⊥BC1于点E1,OE 在等边△A1BC1中，A1B1=2, ⊥BC于点E,则EE为斜高. 则0A=280,E 3· …(6分) 在直角梯形OAAO1中，OO1=3, 所以AA1=√OO+(OA-OA1) ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E,ECC1; 3 3 ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形OEEO: ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形OOCC, 即棱台的侧棱长为3 ……(9分) [触类旁通] 在直角梯形OEEO1中， 3.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和 EE1=√OO+(OE-O,E,) 7,高为3，则该棱台的侧棱长为 [缜密思维提能区] 规范答题 =3+(29-2 3 棱台的有关计算 [典例](13分)正三棱台的高为3，上、下底 即棱台的斜高为2 ……(13分) 3 面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱 长和斜高。 课堂小结 [审题指导]在正三棱台中，构造直角梯 知识落实 技法强化 形，根据数量关系求解即可· (1)判断棱锥或棱台 [规范解答]如图所示， 最常用的方法是定 正三棱台ABC-A,B,C B (1)棱锥、棱台的结构特征。 义法、举反例法。 中，两底面中心分别为O, (2)有关棱锥、棱台的计算. O,AB和AB1的中点分 0 (2)棱锥、棱台的结 别是E,E1,连接OO,EE, 构特征不清. OA1,OA,OE1,OE,则四边形OAA1O, OEEO都是直角梯形，…(3分》 请完成【课后案]学业评价（十一）》 56[触类旁通] : 面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧 1D如图，该几何体上、下两个底面互相平行，其余各面都是 棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故②错，③对. 四边形，但不是棱柱，故A错误：正六棱柱中有互相平行的两 因而正确的有①③. 个侧面，但不能作为棱柱的底面，故B错误：长方体的各个面 答案①③ 都是平行四边形，故C错误，D正确。 课堂案·互动探究 [例1][解析]①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平 面去戴棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台， ②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形 ③正确，由棱锥的定义知棱维的侧面只能是三角形. ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥。 [例2][解析]直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 ⑤错误，如图所示四棱锥被平而截成的两部分都是棱锥】 A错：直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错：C正 确：底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错， [答案]ABD [触类旁通] 2.D正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体， [例3][解析]其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条 棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但来剪开 的相邻面在展开图中一定相邻，相同的图案是盒子上相对 的面，展开后不能相邻. [答案]②③④ [答案]A [触类旁通] [母题变式] 1,C根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥 1.B由题意，将正方体的展开图还原成正方 [例2][解析]作出正三校锥如图，S)为其高，连接AO 体，“1”与“乐”相对，“2”与“8”相对，“0”与 作OD LAB于点D,则点D为AB的中，点. “快”相对，所以下面是“8” 0 8 在R△ADO中，AD=号， 2.C ∠0AD=30°， [触类旁通] 3.B沿棱AA将三被柱展开，再拼接一次，如图所示，由图 3 2 故A)= 可知所求最短路线的长为√J5+12=13(cm). COSZOAD=3. A 在Rt△SAO中，SA=23,AO=√3， 3 cm 故S0=3,其高为3. [母题变式] 12 cm 1.解析在Rt△SDO中，SD=25,DO= 11.1.4棱锥与棱台 A0=号，故 课前案·自主学习 [教材梳理] 0=5D-00=2-=35 导学1 2.解析如图正四棱维S-ABCD中， 问题1[提示]棱锥 SO为高，连接OC.则△SOC是直角 问题2[提示]底面是多边形，侧面都是三角形，且有一个 三角形，由题虑BC=3,则OC 公共顶点 32 2 ,又因为SC=25, 0 Q结论形成 多边形 三角形 多边形公共顶点 相邻两侧面 则S0=√SC-(OC= /12 垂线 导学2 15_30 问题1[提示]枚台. 21 问题2[提示]棱台可以由校锥裁得. ©结论形成 故其高为3细 2 平行于棱锥底面的平面底面截面相邻两侧面 [触类旁通] 正棱锥两底面中心 2.A把正三校雏沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰 「基础自测] 三角形，△SBC,△SCA,△SAB,连接BB,交SC于F,交 1.(1)/(2)×(3)×(4)× SA于E,则线段BB就是△BEF的最小周长，BB=√2a, 2.CA项中的几何体是棱柱：B项中的几何体是棱锥：D项 中的几何体的梭AA',BB,CC,DD没有交于一点，则D 项中的几何体不是棱台：很明显C项中的几何体是棱台. 3.ABC面ABCD不是几何体的面，该几何体有8个面. 4.解析棱雏是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的 几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公 共点，故①对，棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截 ... 13 ⑧e 又SB=SB=a,根据勾股定理，SB+SB=BB2=2a, 为直角边，则圆维的母线一定比圆锥底面圆的半径长，故 △SBB是等腰直角三角形，∴∠BSB=90°， C不正确：当圆柱的母线长等于圆柱底面圆的周长时，侧 &LASC=90×号=30 面展开图为正方形，故D不正确， [例2][解析]设圆台的母线长为 ∴.侧棱SA,SC的夹角为30°，故选A. lcm,由截得的圆台上、下底面面积 [例3][解析]：正四棱台的上底面是边长为2的正方 之比为1：16，可设裁得的圆台的上 形，下底面是边长为4的正方形， 下底面的半径分别为rcm,4rcm.过 .上底面、下底面的面积分别是4,16. 轴S0作戴面，如图所示. :侧枝长为2，侧面是全等的等腰梯形， 则△SOA'∽△SOA,SA'=3cm. 斜高为4-（号）=。 所以-歌所以 3 :侧面的面积为2×(2+40X,5=35, 4 ∴.四棱台的表面积为4十16十33×4=20十12√3」 解得【=9，即圆台的母线长为9cm. [触类旁通] [母题变式] 3.解析由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上 1.解析马出轴戴面，如图， 0' 底长为5√2，下底长为7√2，高为3，则侧棱长为 过A作AM⊥BC于M, 则BM=5-2=3(cm), 3+(2)=√/1. AM=√AB-BM=9cm, 答案√T 11.1.5旋转体 所以S。事D=4+10)X9 2 课前案·自主学习 =63cm. [教材梳理 答案63cm 导学1 2.解析 作轴戴面如图， 问题1[提示]不是。 问题2[提示]不是，绕斜边旋转所得的是两个圆维， 问题3[提示]用平行于圆雏底面的平而截去一个圆锥可 以得到 O结论形成 一边一直角边垂直于底边的腰圆柱O)圆锥S) 圆台00轴 则5=6-41 导学2 3 6 ,所以r=1 问题1[提示]可以. 答案1 问题2[提示]球与球面是完全不同的两个概念，球指球 [触类旁通] 面所围成的几何体，而球面只指球的表面部分。 2.C根据题意知，园柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， ○结论形成 矩形的高（即圆木长）为20尺，矩形的底边长为7×3 球面(1)半圆它的直径定长(2)圆心(3)线段 21(尺)， (4)球心(5)球面被经过球心 因此葛藤最少长√/203十21=29（尺）. 4πR2球O [基础自测] 1.(1)√(2)×(3)×(4)J 2.D由旅转体的概念可知，选项D不是旋转体 3.ABC棱柱的任何戴面都不可能是园面， 4.D组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应 该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋 [倒8】[解桥]由等造三角彩AC的西软为9，得 转而成的，观察四个选项得D正确. 课堂案·互动探究 AE=9,得AB=8,时△ABC的外接周丰径r 4 [例1门「解析]A所取的两点与园柱的轴的连线所构成的 四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与园柱母线定义不 号×号AB-号AB-原设球的丰径为R,别向球的表而 符.C所取两，点连线的延长线不一定与轴交于一点，不特 积为16π，得4πR=16,得R=2,则球心O到平面ABC 合园台母线的定义，B、D特合圆锥、圆柱母线的定义及 的距离d=√R-产=1，故选C. 性质。 [答案]C [答案]BD [触类旁通] [触类旁通] 3.解析球的半径为R=13.设两个戴面圆的半径分别为 1,A对于顶点在底面投影在底面多边形外的棱锥，其高在 r,r2,球心到截面的距离分别为d1,d山2：球的半径为R,由 几何体之外，故A正确：上下底面平行且侧棱交于一点的 x=25π，得片=5；由元r=114π，得r2=12; 几何体是四棱台，故B不正确：圆维底面圆的半径、母线和 如图①所示，当琼的球心在两个平行平面的外侧时， 高可以构成直角三角形，其中母线为斜边，底面國的半径 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差： 4