11.1.3 多面体与棱柱-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“多面体与棱柱”核心知识点，先系统梳理多面体的定义、面棱顶点等相关概念及凸多面体特征，再深入棱柱的定义、结构特征、分类（直棱柱、正棱柱等），最终通过计算实例构建从概念到应用的学习支架。 该资料采用“逐点理清式”教学，“多维理解”明晰概念，“微点练明”强化应用。如多面体辨析培养空间观念（数学眼光），棱柱分类的集合关系训练逻辑推理（数学思维），计算例题提升数学表达能力（数学语言）。课中助教师高效授课，课后供学生回顾练习，查漏补缺。

11.1.3　多面体与棱柱 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.能根据棱柱的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法. 2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和进行相关计算. 逐点清(一)　多面体 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.多面体的定义及相关概念 (1)定义 一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体. (2)相关概念 名称 概念 面 围成多面体的各个多边形 棱 相邻两个面的公共边 顶点 棱与棱的公共点 面对角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段中，除去多面体的棱的线段 体对角线 连接不在同一面上两个顶点的线段 截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部) 表面积 (全面积) 多面体所有面的面积之和 2.凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体. [微点练明] 1.(多选)关于如图所示的几何体的说法正确的是 (　　) A.该几何体是一个多面体 B.该几何体有9条棱，5个顶点 C.该几何体有7个面 D.该几何体有6个面 解析:选ABD　在A中，由多面体的概念知该几何体是一个多面体，故A正确；在B中，由多面体的概念知该几何体有9条棱，5个顶点，故B正确；在C中，由多面体的概念知该几何体有6个面，故C错误，D正确. 2.下列几何体不是多面体的是 (　　) 答案:A 3.一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为16π，则它的棱数为 (　　) A.24 B.22 C.18 D.16 解析:选D　∵凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为16π，故每个面的内角和可看成16π÷8=2π，故每个面应为四边形.由于两个面共用一条棱，故它的棱数为=16. 4.如图，截去正方体的一角变成的多面体有　　　　条棱.  解析:截去正方体的一角变成的多面体与原正方体相比少了一个顶点，多了一个面，棱数不变. 答案:12 逐点清(二)　棱　柱 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.棱柱的定义及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形 如图可记作: 棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 或棱柱AD' 底面(底):两个互相平行的面；侧面:其他各面；侧棱:两个侧面的公共边；高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积. 2.棱柱的分类 (1)特殊几何体 直棱柱:棱柱的侧棱垂直于底面； 斜棱柱:不是直棱柱的棱柱； 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱. (2)按底面的形状分类 三棱柱:底面是三角形；四棱柱:底面是四边形；…；平行六面体:底面是平行四边形；直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的底面互相平行. (　　) (2)棱柱的各个侧面都是平行四边形. (　　) (3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)× 2.下列命题中，正确的是 (　　) A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 解析:选D　由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下: 图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但相邻两个四边形公共边不都相互平行，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的几何体不是正方体，C错；根据棱柱的定义知D正确. 3.设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这四个集合之间的关系是 (　　) A.P⫋N⫋M⫋Q B.Q⫋M⫋N⫋P C.P⫋M⫋N⫋Q D.Q⫋N⫋M⫋P 解析:选B　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⫋{正四棱柱}⫋{长方体}⫋{直四棱柱}，故选B. 4.已知如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗?若是，请指出它们的底面. 解:(1)长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1. 逐点清(三)　棱柱中的相关计算 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)一个直平行六面体的侧棱长是9，底面相邻的两边的长都是6，夹角是60°，则此直平行六面体的体对角线长是 (　　) A.3 　B.3 C.3或3 　D. (2)一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 解析:(1)直平行六面体的体对角线有4条，共2对，分别相等，底面菱形的对角线长分别是6和6，由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是=3或=3. 答案:C (2)如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，令体对角线A1C=15，B1D=9， ∴a2+52=152，b2+52=92， ∴a2=200，b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2=+===64，∴AB=8.∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160. |思|维|建|模| 　　 求解棱柱问题的常用解题策略 　　求解棱柱问题的关键有两点:一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形.立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解.若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解. 　　[针对训练] 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面两边BC∶AB=7∶24，对角面ACC1A1的面积是50.求该长方体的侧面积. 解:如图，设BC=7a，AB=24a，AA1=b， ∴AC==25a，∴对角面ACC1A1的面积为S=AC·AA1=25ab=50，解得ab=2，∴长方体的侧面积S=2×24ab+2×7ab=62ab=124. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3，4，5，现有一只小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值. 解:把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示，利用勾股定理可得AC1的长分别为. 由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $