11.1.3 多面体与棱柱(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦多面体与棱柱核心知识点，先梳理多面体的定义及面、棱、顶点等相关概念，再过渡到棱柱的定义、结构特征、分类及表示方法，最后延伸至棱柱的计算与展开图应用，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过五角大楼等实物情境引导观察，培养直观想象，结合定义辨析与计算问题提升数学抽象能力。设有“想一想”“跟踪训练”等环节，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺，强化知识应用与迁移。

11.1.3　多面体与棱柱 【基础落实】 新知初探 知识点一 平面多边形　多边形　公共边　同一面　不在同一个面上　 想一想 1.提示：是.长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义. 2.提示：四个. 自我诊断 1.D　金字塔、钻石、粉笔盒的表面都可近似地看成平面多边形，故它们都可近似地看成多面体，足球的表面不是平面多边形，故不能近似地看成多面体. 2.（1）（2）　 解析：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，那么这个多面体就是凸多面体，所以（1）（2）是凸多面体，（3）不是凸多面体. 知识点二 1.互相平行　平行四边形　2.底面　上底面　下底面　侧面　侧棱　4.垂线　5.正棱柱　6.平行四边形　垂直 想一想 　提示：根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 2.B　易知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为＝20. 3.36　 解析：由正棱柱的侧面积公式可得S＝ch＝6×2×3＝36. 【典例研析】 【例1】　A　四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；③就是棱柱的定义，故③正确，②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确. 跟踪训练 D　长方体ABCD-A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中有两个三棱柱，它们的底面都是直角三角形；还有一个是底面为六边形的直棱柱，所以这三个几何体中棱柱的个数为3，故选D. 【例2】　解：如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中，两条体对角线A'C＝15 cm，BD'＝9 cm，侧棱AA'＝DD'＝5 cm，连接AC和BD. ∵△BDD'和△CAA'都是直角三角形， ∴AC2＝152－52＝200，BD2＝92－52＝56， 可得AC＝10 cm，BD＝2 cm. ∵AC，BD是菱形ABCD的两条对角线， ∴AB＝＝＝8（cm）. ∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160（cm2）. 跟踪训练 90°　 解析：设该棱柱的棱长为a，则在Rt△MB1C1中，MC1＝＝a， 在Rt△MBN中，MN＝＝a， 连接C1N，CN（图略），则CC1⊥CN， 在Rt△C1NC中，C1N＝＝＝a， 所以M＋MN2＝C1N2，所以∠NMC1＝90°. 【例3】　解：（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝. （2）如图，将正三棱柱侧面沿棱BB1剪开，使面BB1C1C与面AA1C1C在同一平面上（即点P移到点P1的位置），连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线，设PC＝x（x＞0），则P1C＝x. 在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3＋x）2＋22＝29，解得x＝2（负值舍去），∴PC＝P1C＝2，∵＝＝，∴NC＝. 跟踪训练 2　 解析：如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若按图1展开，此时AC1＝＝＝2，若按图2展开，此时AC1＝＝＝，若按图3展开，此时AC1＝＝＝，由于2＜，故最短距离为2. 随堂检测 1.C　直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错，C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错. 2.D　由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×4＝8. 3.　 解析：连接D1B1，AB1，由M为A1C1的中点，可得M为B1D1的中点，又N是线段AD1的中点，所以MN＝AB1＝×2＝. 4.解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.3　多面体与棱柱 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱的结构特征（直观想象）. 2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算（数学抽象）. 美国五角大楼（英文：The Pentagon）是美国国防部所在地，位于华盛顿西南方维珍尼亚州阿灵顿县.由于其特殊的职能，所以有时“五角大楼”一词不仅仅代表这座建筑本身，也常常用作美国国防部、甚至美国军事当局的代名词.如图为五角大楼的鸟瞰图. 【问题】　（1）若将五角大楼的楼顶所占空间覆盖一层防辐射薄膜，那么薄膜的形状是什么图形？ （2）若将五角大楼的各个侧面看成平面，那么这些平面图形是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 知识点一　多面体 类别 多面体 定义 由若干个　　　　　　所围成的封闭几何体 相关概念 面：围成多面体的各个　　　　； 棱：相邻两个面的　　　　； 顶点：棱与棱的公共点； 面对角线：连接　　　　上两个顶点的线段，除去多面体的棱； 体对角线：连接　　　　　　　　两个顶点的线段； 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部） 图形 【想一想】 1.长方体、正方体是多面体吗？ 2.最简单的多面体由几个面所围成？ 1.下列各实物不能近似地看成多面体的是（　　） A.金字塔　 B.钻石　 C.粉笔盒　 D.足球 2.在如图所示的几何体中，　　　　是凸多面体. 知识点二　棱柱 1.定义 有两个面　　　　　　，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是　　　　　　　　，这样的多面体称为棱柱. 2.图示及相关概念 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的　　　　（底面水平放置时，分别称为　　　　、　　　　），其他各面称为棱柱的　　　　，相邻两个侧面的公共边称为棱柱的　　　　. 3.棱柱的表示方法 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表 示为棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'，此棱柱也可表示为棱柱AD'. 4.棱柱的高与侧面 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的　　　　所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积. 5.棱柱的分类 棱柱 特别地，底面是正多边形的棱柱称为　　　　. 6.平行六面体与直平行六面体 底面是　　　　　　的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面　　　　　　的平行六面体称为直平行六面体. 【想一想】 棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）棱柱的侧面都是平行四边形.（　　） （2）棱柱的两个底面是全等的多边形.（　　） （3）棱柱最多有两个面不是四边形.（　　） （4）平行六面体是棱柱，棱柱是平行六面体.（　　） 2.一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为（　　） A.10　　 　B.20　 　 C.5　　 　D.15 3.已知一个正六棱柱底面边长为2，高为3，则这个正六棱柱的侧面积为　　　　　. 题型一｜棱柱的有关概念 【例1】　下列关于棱柱的说法正确的个数是（　　） ①四棱柱是平行六面体； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱； ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱. A.1　　　 B.2 C.3　　　D.4 尝试解答 通性通法 棱柱结构的辨析方法 （1）扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义； ①看“面”：观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”：观察每相邻两个四边形的公共边是否平行； （2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 【跟踪训练】 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，则这三个几何体中棱柱的个数为（　　） A.0　　　B.1 C.2　　　D.3 题型二｜多面体或棱柱的计算问题 【例2】　已知底面是菱形的直四棱柱的侧棱长为5 cm，它的体对角线长分别是9 cm和15 cm，求这个直四棱柱的侧面积. 尝试解答 通性通法 求解棱柱问题的常用策略 　　求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形.立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解. 【跟踪训练】如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是　　　　. 题型三｜棱柱展开图及其应用 【例3】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N.求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC和NC的长. 尝试解答 通性通法 　　将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.具体步骤如下： （1）将几何体沿着某条棱剪开后展开，画出其侧面展开图； （2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； （3）结合已知条件求得结果. 【跟踪训练】 　已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点A爬到点C1的最短距离是　　　　. 1.下列说法中正确的是（　　） A.直四棱柱是直平行六面体 B.直平行六面体是长方体 C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D.底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若M，N分别是线段A1C1，AD1的中点，则线段MN的长为　　　　. 4.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 提示：完成课后作业　第十一章　11.1　11.1.3 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $