11.1.3 多面体与棱柱(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦多面体与棱柱核心知识点，先通过实物观察归纳多面体定义及面、棱、顶点等要素，再深入棱柱的结构特征、分类及相关计算，形成从基础概念到应用的学习支架。 以五角大楼实例引入，通过直观想象构建几何体认知，结合展开图转化等问题培养数学思维，课中助力教师实例教学，课后分层训练帮助学生查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

11.1.3　多面体与棱柱 课标要求 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱的结构特征（直观想象）. 2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算（数学抽象）. 　　美国五角大楼（英文：The Pentagon）是美国国防部所在地，位于华盛顿西南方维珍尼亚州阿灵顿县.由于其特殊的职能，所以有时“五角大楼”一词不仅仅代表这座建筑本身，也常常用作美国国防部、甚至美国军事当局的代名词.如图为五角大楼的鸟瞰图. 【问题】　（1）若将五角大楼的楼顶所占空间覆盖一层防辐射薄膜，那么薄膜的形状是什么图形？ （2）若将五角大楼的各个侧面看成平面，那么这些平面图形是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　多面体 类别 多面体 定义 由若干个　平面多边形　所围成的封闭几何体 相关 概念 面：围成多面体的各个　多边形　； 棱：相邻两个面的　公共边　； 顶点：棱与棱的公共点； 面对角线：连接　同一面　上两个顶点的线段，除去多面体的棱； 体对角线：连接　不在同一个面上　两个顶点的线段； 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部） 图形 【想一想】 1.长方体、正方体是多面体吗？ 提示：是.长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义. 2.最简单的多面体由几个面所围成？ 提示：四个. 1.下列各实物不能近似地看成多面体的是（　　） A.金字塔 B.钻石 C.粉笔盒 D.足球 解析：D　金字塔、钻石、粉笔盒的表面都可近似地看成平面多边形，故它们都可近似地看成多面体，足球的表面不是平面多边形，故不能近似地看成多面体. 2.在如图所示的几何体中，（1）（2）是凸多面体. 解析：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，那么这个多面体就是凸多面体，所以（1）（2）是凸多面体，（3）不是凸多面体. 知识点二　棱柱 1.定义 有两个面　互相平行　，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是　平行四边形　，这样的多面体称为棱柱. 2.图示及相关概念 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的　底面　（底面水平放置时，分别称为　上底面　、　下底面　），其他各面称为棱柱的　侧面　，相邻两个侧面的公共边称为棱柱的　侧棱　. 3.棱柱的表示方法 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'，此棱柱也可表示为棱柱AD'. 4.棱柱的高与侧面 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的　垂线　所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积. 5.棱柱的分类 棱柱 特别地，底面是正多边形的棱柱称为　正棱柱　. 6.平行六面体与直平行六面体 底面是　平行四边形　的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面　垂直　的平行六面体称为直平行六面体. 【想一想】 棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 提示：根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）棱柱的侧面都是平行四边形.（　√　） （2）棱柱的两个底面是全等的多边形.（　√　） （3）棱柱最多有两个面不是四边形.（　√　） （4）平行六面体是棱柱，棱柱是平行六面体.（　×　） 2.一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为（　　） A.10 B.20 C.5 D.15 解析：B　易知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为＝20. 3.已知一个正六棱柱底面边长为2，高为3，则这个正六棱柱的侧面积为36. 解析：由正棱柱的侧面积公式可得S＝ch＝6×2×3＝36. 题型一｜棱柱的有关概念 【例1】　下列关于棱柱的说法正确的个数是（　　） ①四棱柱是平行六面体； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱； ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱. A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A　四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；③就是棱柱的定义，故③正确，②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确. 通性通法 棱柱结构的辨析方法 （1）扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义； ①看“面”：观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”：观察每相邻两个四边形的公共边是否平行； （2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 【跟踪训练】 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，则这三个几何体中棱柱的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D　长方体ABCD-A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中有两个三棱柱，它们的底面都是直角三角形；还有一个是底面为六边形的直棱柱，所以这三个几何体中棱柱的个数为3，故选D. 题型二｜多面体或棱柱的计算问题 【例2】　已知底面是菱形的直四棱柱的侧棱长为5 cm，它的体对角线长分别是9 cm和15 cm，求这个直四棱柱的侧面积. 解：如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中，两条体对角线A'C＝15 cm，BD'＝9 cm，侧棱AA'＝DD'＝5 cm，连接AC和BD. ∵△BDD'和△CAA'都是直角三角形， ∴AC2＝152－52＝200，BD2＝92－52＝56， 可得AC＝10 cm，BD＝2 cm. ∵AC，BD是菱形ABCD的两条对角线， ∴AB＝＝＝8（cm）. ∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160（cm2）. 通性通法 求解棱柱问题的常用策略 　　求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形.立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解. 【跟踪训练】 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是90°. 解析：设该棱柱的棱长为a，则 在Rt△MB1C1中， MC1＝＝a， 在Rt△MBN中，MN＝＝a， 连接C1N，CN（图略），则CC1⊥CN， 在Rt△C1NC中，C1N＝ ＝＝a， 所以M＋MN2＝C1N2， 所以∠NMC1＝90°. 题型三｜棱柱展开图及其应用 【例3】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N.求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 解：正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝. （2）PC和NC的长. 解：如图，将正三棱柱侧面沿棱BB1剪开，使面BB1C1C与面AA1C1C在同一平面上（即点P移到点P1的位置），连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线，设PC＝x（x＞0），则P1C＝x. 在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3＋x）2＋22＝29，解得x＝2（负值舍去），∴PC＝P1C＝2， ∵＝＝，∴NC＝. 通性通法 　　将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.具体步骤如下： （1）将几何体沿着某条棱剪开后展开，画出其侧面展开图； （2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； （3）结合已知条件求得结果. 【跟踪训练】 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点A爬到点C1的最短距离是2. 解析：如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若按图1展开，此时AC1＝＝＝2，若按图2展开，此时AC1＝＝＝，若按图3展开，此时AC1＝＝＝，由于2＜，故最短距离为2. 1.下列说法中正确的是（　　） A.直四棱柱是直平行六面体 B.直平行六面体是长方体 C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D.底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 解析：C　直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错，C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错. 2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：D　由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×4＝8. 3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若M，N分别是线段A1C1，AD1的中点，则线段MN的长为. 解析：连接D1B1，AB1，由M为A1C1的中点，可得M为B1D1的中点，又N是线段AD1的中点，所以MN＝AB1＝×2＝. 4.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1. 1.下面多面体中，是棱柱的有（　　） A.1个　　　B.2个 C.3个　　　D.4个 解析：D　这4个多面体均为棱柱. 2.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是（　　） A.Q⊃N⊃M⊃P B.Q⊃M⊃N⊃P C.P⊃M⊃N⊃Q D.P⊃N⊃M⊃Q 解析：D　正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P⊃N⊃M⊃Q. 3.下列关于棱柱的说法中正确的是（　　） A.棱柱的所有面都是四边形 B.一个棱柱中只有两个面互相平行 C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面 D.棱柱的侧棱长不都相等 解析：C　A说法错误，比如三棱柱的底面为三角形；B说法错误，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；D说法错误，由棱柱的定义可知棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等.故选C. 4.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（　　） A.22 B.20 C.10 D.11 解析：A　所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22. 5.四棱柱有几条侧棱，几个顶点（　　） A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 解析：C　由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点. 6.正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA'于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为（　　） A.6 cm2 B.2 cm2 C.8 cm2 D.2 cm2 解析：C　如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥BC，DE⊥BC.因为AE＝×4＝2，所以DE＝＝4，所以S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8（cm2）.所以截面BCD的面积为8 cm2. 7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的和为384，AC1的长为366，则该长方体的表面积为13 500. 解析：如图，AB＋BC＋CC1＝384，AB2＋BC2＋C＝3662，（AB＋BC＋CC1）2＝3842，∴AB2＋BC2＋C＋2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842，∴2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842－3662＝750×18＝13 500，该长方体的表面积为13 500. 8.如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是①③④. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体. 解析：①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD. 9.一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是B. 解析：由题图知，标有字母C的平面与标有A，B，D，E的面相邻，则与D面相对的面为E面或B面；若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能是与D面相对的面上字母为B. 10.直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，表面积为1 440 cm2，求底面各边之长. 解：设底面三边长分别为17x cm，10x cm，9x cm，则S侧＝（17x＋10x＋9x）×16＝576x. 设长为17x的边所对的三角形内角为α，则cos α＝＝－， 所以sin α＝＝，所以S底＝2××10x×9x×＝72x2， 所以576x＋72x2＝1 440，即x2＋8x－20＝0，（x－2）（x＋10）＝0， 解得x＝2（舍去负值），所以底面三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm. 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为（　　） A. B.2 C. D. 解析：A　延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形. 由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝，所以△AMN中MN边上的高h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝.设平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为S，S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·（h1＋h2）＝××（ ＋）＝. 12.〔多选〕一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析：BD　因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是矩形，所以B是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以D是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形和五边形.故选B、D. 13.如图所示，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②③④⑤⑥. （1）我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将②③④⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表. 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ （2）看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确. 解：（1）通过观察各几何体，得到下表. 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）由上表归纳可得，设凸多面体的顶点数为R，面数为V，棱数为E，则R＋V－E＝2（此式为著名的欧拉公式）.⑥中木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2. 14.〔多选〕用一个平面去截正方体，截面的形状可以是（　　） A.直角三角形 B.正五边形 C.正六边形 D.梯形 解析：CD　画出截面图形如图，可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形，故D正确.故选C、D. 15.如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3 cm，CC1＝2 cm，CC1∥AA1，CC1∥BB1. （1）在几何体ABC-A1B1C1中，作出一个过点C1的截面，截去该几何体的一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2 cm的三棱柱，并指出截去的几何体的名称； （2）在（1）的条件下，写出直线AA1与直线BC，直线AA1与截面，截面与平面ABC之间的位置关系. 解：（1）如图，在AA1上取点E，使AE＝2 cm，在BB1上取点F，使BF＝2 cm，连接C1E，EF，C1F， 则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2 cm；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥. （2）由（1）知直线AA1与直线BC异面，直线AA1与截面C1EF相交，截面C1EF∥平面ABC. 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $