11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦构成空间几何体的基本元素，系统梳理点、线、面的概念及表示方法，递进探究空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，最终落脚于直线与平面垂直的定义及距离计算，构建从基础元素到位置关系的完整学习支架。 资料以“逐点理清”为设计特色，通过“多维理解”解析概念本质，“微点练明”结合长方体、正方体模型强化应用，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学语言（符号、图形）表达关系的能力。课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过典型例题查漏补缺，深化空间观念与推理意识。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握构成几何体的基本元素及平面的表示方法.了解空间中的点、线、面和几何体之间的关系. 2.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.理解直线与平面垂直的概念. 逐点清(一)　空间中的点、线、面 　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.基本元素 (1)构成空间几何体的基本元素是点、线、面. (2)从运动的观点理解空间基本图形之间的关系:点动成线，线动成面，面动成体. 2.平面 (1)平面的画法:①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线. (2)平面的表示方法:①一个希腊字母:如α，β，γ等；②两个大写英文字母:表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；③四个大写英文字母:表示平面的平行四边形的四个顶点. [微点练明] 1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是 (　　) A.点 B.线段 C.曲面 D.多边形(不包括内部的点) 答案:D 2.图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是 (　　) A.4，5，3 B.4，5，4 C.4，6，4 D.4，6，3 答案:C 3.根据如图所示的棱柱，回答下列问题: (1)6个顶点可以表示为　　　　　　　　　　；  (2)9条棱可以表示为　　　　　　　　　　；  (3)5个平面可以表示为　　　　　　　　　 ；  (4)棱柱可以表示为　　　　　　　　　　　.  答案:(1)A，B，C，A1，B1，C1　 (2)AB，BC，AC，A1B1，B1C1，A1C1，AA1，BB1，CC1 (3)平面ABC，平面A1B1C1，平面AA1B1B，平面BB1C1C，平面AA1C1C　 (4)三棱柱ABC-A1B1C1 逐点清(二)　空间中点与直线、直线与直线的位置关系 [多维理解] 1.点与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点A在直线l上 A∈l 点A不在直线l上 A∉l 2.直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平行 m∥l 零个 相交 m∩l=A 有且只有一个 异面 零个 3.异面直线的定义 一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面. 这就是说，如果a，b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b=∅有且只有一种情况成立.而且，当a∩b=∅时，a与b要么平行(记作a∥b)，要么异面. [微点练明] 1.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 (　　) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 解析:选D　空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n可能平行(图1)，也可能相交(图2)，也可能异面(图3). 2.如图中的长方体，(1)直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且A1，B1都不是l上的点，这可用符号简写为　　　　　　　　　　　 　.  (2)如果记图中顶点B，B1确定的直线为m，顶点C，C1确定的直线为k，则有m与l相交(即有公共点)，k与l不相交(即没有公共点)，这可分别表示为　　　　　　　　　　　　　　　.  (3)因为m与l相交于点B，所以　　　　　　，一般简写为　　　　　　　　.  答案:(1)A∈l，B∈l，A1∉l，B1∉l　(2)m∩l=B，k∩l=∅　(3)B∈m且B∈l　m∩l=B 3.如图，观察正方体ABCD -A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系: ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　；  ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　；  ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　；  ④直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　.  解析:直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”.直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④均应该填“异面”. 答案:①平行　②异面　③相交　④异面 逐点清(三)　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 A是平面α内的点(或点A在平面α内) A∈α A不是平面α内的点(或点A不在平面α内) A∉α 2.直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线l在平面α内(或平面α过直线l) l⊂α 有无数个公共点 直线l与平面α相交 l∩α=A 有且只有一个公共点 直线l与平面α平行 l∥α 没有公共点 3.两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平面α与平面β相交 α∩β≠∅或α∩β=l 有无数个公共点 平面α与平面β平行 α∥β 没有公共点 [微点练明] 1.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作 (　　) A.Q∈b∈β　　　　　　　 B.Q∈b⊂β C.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β 解析:选B　∵点Q在直线b上，∴Q∈b.又直线b在平面β内，∴b⊂β.∴Q∈b⊂β. 2.如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系: (1)点C与平面β:　　　　；  (2)点A与平面α:　　　　；  (3)直线AB与平面α:　　　　；  (4)直线CD与平面α:　　　　；  (5)平面α与平面β:　　　　.  答案:(1)C∉β　(2)A∉α　(3) AB∩α=B　 (4)CD⊂α　(5)α∩β=BD 3.给出如下点、线、面的图示. (1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系? (2)如何用数学符号语言表述上述关系? 解:(1)文字语言: 题图①中点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B，直线l与平面α相交. 题图②中平面α和β相交于直线a， 直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q. (2)数学符号语言: 题图①:A∉α，B∈α，A∈l，B∈l，l∩α=B. 题图②:α∩β=a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b，b∩α=P，b∩β=Q. 逐点清(四)　直线与平面垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.线面垂直定义 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足. 2.点到平面的距离 给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离. 3.线面、面面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； (2)当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.　 [微点练明] 1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 解析:选D　由题意，若笔所在直线与桌面垂直，则在桌面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线与桌面不垂直，则其必在桌面上有一条投影线，在平面内一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此直线垂直.综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直.故选D. 2.(多选)对于长方体ABCD-A1B1C1D1中的点、线、面的位置关系，下列说法正确的是 (　　) A.直线AA1与直线CC1平行 B.直线AA1与平面C1D1DC相交 C.直线AA1与平面A1B1C1D1垂直 D.点A1与点B1到平面ABCD的距离相等 解析:选ACD　连接A1C1，AC(图略)，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，因此直线AA1与直线CC1平行，A正确；直线AA1与平面C1D1DC没有交点，因此直线AA1与平面C1D1DC平行，B不正确；平面A1B1C1D1内任意一条过点A1的直线都与直线AA1垂直，因此直线AA1与平面A1B1C1D1垂直，C正确；点A1到平面ABCD的距离为线段AA1的长，点B1到平面ABCD的距离为线段BB1的长，A1A=BB1，因此点A1与点B1到平面ABCD的距离相等，D正确. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，BC=2，BB1=3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为 (　　) A.4 B.2 C.2 D.3 解析:选D　∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长度为点B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1的距离为3. 4.平面α∥β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB+CD=28，且AB，CD在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为　　　　.  解析:如图，作AE⊥β，CF⊥β，连接BE，FD.由题意可知，BE=5，DF=9.设AB=x，CD=28-x，则x2-25=(28-x)2-81，解得x=13.∴平面α与平面β间的距离AE==12. 答案:12 学科网（北京）股份有限公司 $