11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦空间几何体与斜二测画法核心知识点，先梳理空间几何体概念，再系统讲解斜二测画水平放置平面图形及简单空间图形直观图的步骤，最后通过直观图还原与计算问题形成从概念到方法再到应用的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，含基础落实训练、题型分类（如画正五边形直观图、四棱锥直观图）及思维建模，助力学生发展空间观念与几何直观，提升推理能力与应用意识。课中便于教师结构化授课，课后学生可通过针对训练巩固知识，查漏补缺。

　立体几何初步 　　　　　　　　　　 11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤. 2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱)的直观图. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.常见的几何体有长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 2.斜二测画法 (1)作水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°). ②平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段，且长度不变. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半. ③连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线. (2)空间几何体的直观图的画法 ①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴). ②在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于x'轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段，且长度不变.连接有关线段. ③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). |微|点|助|解| 　 (1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 ①“斜”是指在已知图形的平面xOy内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴成45°或135°； ②“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的一半. (2)斜二测画法画图的关键 在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等的角，在直观图中仍相等. (　　) (2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等. (　　) (3)若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行. (　　) (4)若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 (　　) 答案:A 3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在平面x'O'y'上，则圆柱的高应画成 (　　) A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 解析:选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致. 题型(一)　画水平放置的平面图形的直观图 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 解:画法:①在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. ②在图(2)中画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°. ③在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB，O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH，y'轴上取O'E'=OE，分别过G'和H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'=GA，H'D'=HD. ④连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)). |思|维|建|模| 画平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.　 　　[针对训练] 1.画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定). 解:①画轴.如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x'O'y'，其中∠x'O'y'=45°. ②描点.如图②，在x'轴上截取O'A'=OA，O'B'=OB，在y轴上截取O'D'=OD，过点D'作D'C'∥x'轴，且D'C'=DC. ③连线.连接B'C'，A'D'. ④成图.如图③，四边形A'B'C'D'即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图. 题型(二)　画空间几何体的直观图 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解:画法:①画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy=45°(或135°)，∠xOz=90°，如图. ②画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. ③画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP的长度等于原四棱锥的高. ④成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. |思|维|建|模| 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于x轴、z轴的线段画成平行于x'轴、z'轴的线段并且长度不变. (3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半.　 　　[针对训练] 2.画出棱长为3 cm的正方体的直观图. 解:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°，AB=3 cm，AD= cm. (2)过点A作z'轴，使∠BAz'=90°，分别过点A，B，C，D，沿z'轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=3 cm. (3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形(如图②)就是所求的正方体的直观图. 题型(三)　直观图的还原与计算问题 [例3]　(1)如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=， 则这个平面图形的面积是 (　　) A.1 B. C.2 D.4 (2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O'D1=1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 解析:(1)由题图知，△OAB为直角三角形. ∵O'B'=，∴A'B'=，O'A'=2. ∴在原△OAB中，OB=，OA=4， ∴S△OAB=××4=2.故选C. 答案:C (2)如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD=O'D1=1；OC=O'C1=2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2. 连接BC，便得到了原图形(如图). 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2，CD=3，直角腰长度为AD=2. 所以面积为S=×2=5. 　　|思|维|建|模| 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 　　[针对训练] 3.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，A'O'=6，B'O'=2，则线段AB的长度为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 解析:选C　因为△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，所以△OAB是直角三角形，且两条直角边长为OA=6和OB=4，它的斜边AB的长为AB====2. 4.已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积. 解:如图①②所示的分别是实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，A'B'=AB=a，O'C'=OC=a，在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'， 则C'D'=O'C'=a.所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2. 学科网（北京）股份有限公司 $