10.2.2 复数的乘法与除法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

10.2.2　复数的乘法与除法 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] 　　　　　　　　　　 [课时目标] 1.掌握复数的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 2.掌握在复数范围内解方程的方法. 逐点清(一)　复数的乘法 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.复数的乘法的定义 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 (1)对任意复数z1,z2,z3,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (2)n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn.当m,n均为正整数时,zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=. (3)i的乘方运算性质 i4n+1= i ;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1.  (4)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方. |微|点|助|解| 　　　 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立,如:(1)当z∈R时,有|z|2=z2;当z∈C时,有|z|2∈R,而z2∈C,故|z|2和z2不能进行比较.例如,当z=1+i时,|z|2=2,z2=2i,此时2和2i不能进行比较.(2)当m,n∈R时,有m2+n2=0⇔m=n=0;当z1,z2∈C时,+=0⇒/z1=z2=0,但z1=z2=0⇒+=0.需注意z1z2=0的充要条件是z1=0或z2=0.依据复数的乘法运算可得z1z2=0⇔|z1z2|=0⇔|z1||z2|=0⇔z1=0或z2=0. [微点练明] 1.复数(3+2i)i等于 (　　) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 解析:选B　(3+2i)i=3i+2i·i=-2+3i,故选B. 2.设i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2 027的值为 (　　) A.i+1 B.i-1 C.i D.-1 解析:选D　因为i+i2+i3+i4=0,in的取值周期为4,所以i+i2+i3+…+i2 026+i2 027=506×0+i+i2+i3=i-1-i=-1. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. 4.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:选B　由题意,得z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为z在复平面内对应的点在第二象限,所以解得a<-1,故选B. 5.已知复数z1=1-2i,z2=1+bi,若=7-i,则实数b= (　　) A.1 B.2 C.3 D.-1 解析:选C　因为=·=(1+2i)(1-bi)=1+2b+(2-b)i=7-i,所以1+2b=7,2-b=-1,解得b=3.故选C. 逐点清(二)　复数的除法 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.复数的除法的定义 (1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z=z1÷z2),z1称为被除数,z2称为除数. (2)当z为非零复数且n是正整数时,规定z0=1,z-n=.　 2.复数倒数的运算 设z=a+bi,则=,且=. 3.复数的除法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),==+i. 4.常用公式 (1)=-i;(2)=i;(3)=-i. [微点练明] 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 解析:选A　因为z===-,所以=,所以z-=--=-i.故选A. 2.(2025·北京高考)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|= (　　) A. B.2 C.4 D.8 解析:选B　由i·z+2=2i,得z==2+2i,所以|z|==2. 3.(2023·全国甲卷)= (　　) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 解析:选C　由题意知,===1-i,故选C. 4.(多选)已知复数z满足=2+i,则 (　　) A.z的虚部为-1 B.|z|= C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z6=-8i 解析:选ABD　因为=2+i,所以1-=2+i,所以z====-1-i,z的虚部为-1,故A正确;|z|==,故B正确;z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),在第三象限,故C错误;因为z2=(-1-i)2=1+2i+i2=2i,所以z6==(2i)3=-8i,故D正确. 5.已知复数z满足z(3+i)=3+i2 023,则z的共轭复数的虚部为 (　　) A.-i B.i C.- D. 解析:选D　由z(3+i)=3+i2 023,得z====-i,所以=+i,所以z的共轭复数的虚部为. 　　逐点清(三)　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 [典例]　已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是不是方程的根. 解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0. ∴解得b=-2,c=2. (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0, 把1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, ∴1-i也是方程的一个根. 　　|思|维|建|模| 1.复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 (1)当Δ≥0时,x=; (2)当Δ<0时,x=.　 2.利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将其代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. 　　[针对训练] 1.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则实数p,q分别为 (　　) A.p=4,q=-11 B.p=-4,q=3 C.p=4,q=-3 D.p=-4,q=5 解析:选D　因为2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(2-i)2+p(2-i)+q=0, 即(3+2p+q)-(4+p)i=0. 所以解得 2.在复数范围内,写出方程z2-4z+21=0的一个解:z=　　　　.  解析:由z2-4z+21=(z-2)2+17=0,得(z-2)2=-17,则z-2=±i,所以z=2±i. 答案:2+i(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $