9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 认识实际测量中的有关名称和术语.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、　高度、角度的测量等问题. 题型(一)　距离问题 [例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20 m的C，D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°，那么此时A，B两点间的距离是多少? 解:由正弦定理得 AC= ===10(1+)(m)， BC===20(m). 在△ABC中，由余弦定理得 AB= =10(m). ∴A，B两点间的距离为10 m. |思|维|建|模| 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.　 　　[针对训练] 1.如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD是15(+1)，则此时峡谷的宽度BC是 (　　) A.60 B.60(+1) C.30 D.30(+1) 解析:选A　由已知得∠ACB=30°，∠ABD=75°，∴CD==15(3+)，BD==15(-1)，∴BC=CD-BD=60.故选A. 题型(二)　高度问题 [例2]　如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. 解:由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°， 所以CD=AD. 在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°， 由=， 得AD===800(+1)(m). 即山的高度为800(+1)m. |思|维|建|模| 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.　 　　[针对训练] 2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解:设AC=x m， 则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中， 根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x， 解得x=420. 在△ACH中， AC=420 m，∠CAH=30°+15°=45°，∠AHC=90°-30°=60°. 由=， 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 题型(三)　角度问题 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=120 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=150 m，则cos∠DEF=　　　　.  解析:如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得DF===10(m)， DE===100(m)， EF===130(m). 在△DEF中，由余弦定理的推论，得cos∠DEF===-. 答案:- |思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.　 　　[针对训练] 3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile? 解:如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB=θ，乙船行驶距离BC为x n mile， 则AC=x， 由正弦定理得sin θ= =，而θ<60°， ∴θ=30°.∴∠ACB=30°，BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 学科网（北京）股份有限公司 $