9.1.2 第2课时 余弦定理的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

第2课时　余弦定理的综合应用 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标]　进一步学习余弦定理，能利用余弦定理证明相关等式及解决一些综合问题. 题型(一)　利用余弦定理证明等式 [例1]　已知平行四边形ABCD，证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明:在平行四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠ABC+∠DAB=π，cos∠ABC+cos∠DAB=0. 在三角形ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠ABC. 在三角形ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB. 所以AC2+BD2=2AB2+2AD2-2AB·AD·(cos∠ABC+cos∠DAB)=2(AB2+AD2). |思|维|建|模| 　　利用余弦定理证明等式的关键是掌握余弦定理及其变形，灵活应用公式进行转化，有时会涉及正弦定理及三角恒等变换. 　　[针对训练] 1.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ. (1)证明:2S=(a·PB+b·PC+c·PA)sin θ. (2)证明:a2+b2+c2=. 证明:(1)因为S=S△PAB+S△PBC+S△PAC=c·APsin θ+a·BPsin θ+b·CPsin θ=sin θ(c·AP+a·BP+b·CP)①，所以2S=sin θ(c·AP+a·BP+b·CP). (2)在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理得:BP2=c2+AP2-2c·APcos θ，CP2=a2+BP2-2a·BPcos θ， AP2=b2+CP2-2b·CPcos θ，三式相加整理得:2cos θ(c·AP+a·BP+b·CP)=a2+b2+c2　②， 结合①②，可得 =， 整理可得a2+b2+c2=，所以原式得证. 题型(二)　余弦定理与平面向量相结合 [例2]　在△ABC中，∠BAC为锐角，||=2||，且对于t∈R，|-t|的最小值为||，则cos∠ABC= (　　) A.　　　 B.　　　 C.-　　　 D.- 解析:选D　因为|-t|2=+t2-2t·=c2+b2t2-2tbccos A，当t==时，|-t|2取最小值，则c2-c2cos2A=c2，所以cos2A=.又∠BAC为锐角，故cos A=.因为||=2||，所以b=2c.所以cos A===，得a=c.所以cos B===-. |思|维|建|模| 　　解决余弦定理与平面向量相结合问题时，首先要弄明白要求的量与向量式的关系，进而利用向量关系求出需要的值，再解三角形. 　　[针对训练] 2.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2+c2=a2+bc，且·=2，则△ABC的面积为 (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选C　由余弦定理得cos A===.因为A∈(0，π)，所以A=. 又·=2，所以bccos A=2，则bc=4. 所以S△ABC=bcsin A=1. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C. (1)求角A； (2)若a=6，b=2c，求△ABC的面积. 解:(1)在△ABC中，由正弦定理==，可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c.因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C，所以b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cos A==.因为A∈(0，π)，所以A=. (2)由(1)可知cos A=，又a=6，b=2c，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，可得62=4c2+c2-4c2cos A，即36=3c2，所以c=2，b=2c=4.又sin A=，所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=6. |思|维|建|模| 　　边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互化，可使边角关系具体化. 　　[针对训练] 3.(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD=1. (1)若∠ADC=，求tan B； (2)若b2+c2=8，求b，c. 解:(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=， 解得DC=2， 所以BD=DC=2，a=4. 因为∠ADC=，所以∠ADB=. 在△ABD中，由余弦定理，得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7，所以c=. 在△ABD中，由正弦定理，得=， 所以sin B==， 所以cos B==. 所以tan B==. (2)因为D为BC的中点，所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B==， 整理，得2BD2=b2+c2-2=6， 得BD=，所以a=2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC===-， 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc =bc= =，解得bc=4. 则由解得b=c=2. 学科网（北京）股份有限公司 $