9.1.2 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

9.1.2　余弦定理 第1课时　余弦定理 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] 　　　　　　　[课时目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题.　 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 语言 叙述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式 表达 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 变式 cos A=，cos B=， cos C= |微|点|助|解| 　 (1)余弦定理的另外一种常见变式: 2bccos A=b2+c2-a2，2cacos B=c2+a2-b2， 2abcos C=a2+b2-c2. (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2<a2+b2⇔C为锐角. 基础落实训练 1.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则c等于 (　　) A.　　　　　　　 B.8 C.10 D.7 解析:选D　由余弦定理，得 c===7. 2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A等于 (　　) A.60° B.45° C.120° D.30° 解析:选C　由cos A==-，且0°<A<180°，得A=120°. 3.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A= (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析:选A　法一　∵BC<AC，BC<AB，三边相等时，A=，∴A<，结合选项可知A正确. 法二　∵cos A====，且A∈(0，π)，∴A=. 4.已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定? 提示:由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2=a2+b2-2abcos C，c唯一，cos B=，因为0<B<π，所以B唯一，从而A也唯一.所以三角形其他元素唯一确定. 题型(一)　已知两边及一角解三角形 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例1]　(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，解这个三角形. 解:(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3. 所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=B=30°，C=120°； 当a=6时，由余弦定理得cos A==0， 又0°<A<180°，所以A=90°，C=60°. 综上，当a=3时，A=30°，C=120°；当a=6时，A=90°，C=60°. |思|维|建|模| 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.　 　　[针对训练] 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，cos(A+B)=，则c= (　　) A.4 B. C.3 D. 解析:选D　由三角形内角和定理可知cos C=-cos(A+B)=-，又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+4-2×3×2×=17， ∴c=. 2.在△ABC中，a=1，b=2，cos B=，则c=　　　　；sin A=　　　　.  解析:由余弦定理得22=12+c2-2c·cos B，即2c2-c-6=0，∴c=2或c=-(舍去).由正弦定理=及sin B=得sin A==. 答案:2　 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例2]　在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C的大小. 解:根据余弦定理的推论，得cos A= ==. ∵A∈(0，π)，∴A=. cos C===.∵C∈(0，π)，∴C=. ∴B=π-A-C=π--=， ∴A=，B=，C=. |思|维|建|模| 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 　　[针对训练] 3.若△ABC的三边长分别为3，6，7，则该三角形最大角的余弦值为 (　　) A.- B. C. D. 解析:选A　因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为θ，则cos θ==-，故选A. 4.若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是 (　　) A.1∶2∶3 B.1∶∶2 C.1∶∶ D.∶∶2 解析:选A　设三角形三边长分别为m，m，2m(m>0)，最大角为A，则cos A==0，∴A=90°.设最小角为B，则cos B==，∴B=30°，∴C=60°.故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 题型(三)　判断三角形的形状 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例3]　在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状. 解:将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得b2+c2-b2-c2=2bc××， ∴b2+c2= ==a2.∴A=90°.∴△ABC是直角三角形. |思|维|建|模| 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.　 　　[针对训练] 5.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，试确定△ABC的形状. 解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc， ∴a2=b2+c2-bc. 而a2=b2+c2-2bccos A， ∴2cos A=1. ∴cos A=.∴A=60°. 又sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C， sin A=2sin B·cos C， ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0， 即sin(B-C)=0， ∴B=C. 又∵B+C=120°， ∴A=B=C=60°. 故△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $