9.1.1 第2课时 正弦定理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

第2课时　正弦定理的应用 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 进一步学习正弦定理，能根据条件判断三角形形状.能利用正弦定理与三角恒等变换解决 较为复杂的解三角形问题. 题型(一)　判断三角形的形状 [例1]　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 解:法一　根据正弦定理==. ∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2， ∴A是直角，B+C=90°， ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1， ∴sin B=.∵0°<B<90°，∴B=45°，C=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　根据正弦定理==. ∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角. ∵A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C， ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°，∴B-C=0，∴B=C， ∴△ABC是等腰直角三角形. |思|维|建|模| (1)判定三角形形状的途径:①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.　 　　[针对训练] 1.在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析:选D　由3b=2asin B，得=，根据正弦定理，得=， 所以=，即sin A=. 又A是锐角，所以A=60°.又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B=C，故△ABC为等边三角形. 2.在△ABC中，a，b是角A，B所对的边，已知bcos B=acos A试判断△ABC的形状. 解:在△ABC中，由bcos B=acos A及正弦定理，得sin Bcos B=sin Acos A，则sin 2A=sin 2B， 而0<2A<2π，0<2B<2π，0<2(A+B)<2π， 因此2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A+B=， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 题型(二)　利用正弦定理证明有关问题 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例2]　在△ABC中，若acos2+ccos2=，求证:a+c=2b. 证明:因为acos2+ccos2=，由正弦定理得sin Acos2+sin Ccos2=， 所以sin A·+sin C·=，即sin A+sin Acos C+sin C+sin Ccos A=3sin B，所以sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，所以sin A+sin C=2sin B，由正弦定理可得a+c=2b. |思|维|建|模| 　　对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化: (1)已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式. (2)已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式. (3)已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式. 　　[针对训练] 3.在△ABC中，求证:=. 证明:∵左边= = = = = = ==右边， ∴原等式成立. 题型(三)　正弦定理在三角形中的综合应用 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1)求A. (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长. 解:(1)法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A+cos A=2， 可得sin A+cos A=1， 即sin=1， 由于A∈(0，π)⇒A+∈， 故A+=，解得A=. 法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2，又sin2A+cos2A=1， 消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0⇔(2cos A-)2=0，解得cos A=， 又A∈(0，π)，故A=. (2)由题设条件和正弦定理得，bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0， 进而cos B=，得到B=， 于是C=π-A-B=， sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=， 由正弦定理==， 即==， 解得b=2，c=+， 故△ABC的周长为2++3. |思|维|建|模| 　　在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)代数式变形或者三角恒等变换前置； (4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.　 　　[针对训练] 4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2ccos B=2a-b，a=4，S△ABC=3，则b= (　　) A.3 B.3 C.6 D.6 解析:选A　由正弦定理及2ccos B=2a-b得2sin Ccos B=2sin A-sin B.又因为在△ABC中，sin A=sin(B+C)，所以2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B，整理得2sin Bcos C=sin B.因为在 △ABC中，sin B≠0，所以2cos C=1，即cos C=.又因为C∈(0，π)，所以C=.又S△ABC=absin C=3，a=4，所以b=3. 5.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin=csin B，AC边上的高等于AC，求的值. 解:由正弦定理得sin Bsin=sin Csin B，又sin B≠0，则sin=sin C， 即sin=cos=sin C=2sincos. 又cos≠0，所以sin=.又∈， 则=，即C=.又AC边上的高等于AC， 所以S△ABC=b·b=absin C，即b=a， 则= . 学科网（北京）股份有限公司 $