9.1.1 第1课时 正弦定理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

书 第九章 　 解三角形 !"# 正弦定理与余弦定理 ９． １． １　 正弦定理 第１课时　 正弦定理 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式． ２．掌握正弦定理的内容及其证明方法． ３．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的 解三角形问题． １．通过对正弦定理的推导，培养逻辑推理 的核心素养． ２．借助利用正弦定理求解三角形的边长或 角的大小的学习，培养数学运算的核心 素养． )*+,%-.+ 知识点１　 三角形的面积公式 　 　 若记△ＡＢＣ的面积为Ｓ，则Ｓ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ 　 　 　 　 ＝ １ ２ 　 　 　 　 　 ． ●/012 １．已知△ＡＢＣ三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ，若Ａ ＝ １２０°，ｂ ＝ ３，ｃ ＝ ８，则△ＡＢＣ的面积等于 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ６　 　 　 Ｂ． ６槡３　 　 　 Ｃ． １２　 　 　 Ｄ． １２槡３ 　 　 提醒： !"#$%&' ， ()* ， +, ＡＢＣ - ３ ./0 Ａ，Ｂ，Ｃ 12-3456" ａ，ｂ，ｃ； 789:0;-<=>?@ABC:0; ． D<=>?-EFGHI0"J ， K ａ，Ａ LMN ， EO Ｓ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ． $$# 知识点２　 正弦定理 　 　 提醒： :0;*30-PQRS 7 （１） T Ａ U Ｂ U Ｃ VWX ａ U ｂ U ｃ VY ｓｉｎ Ａ U ｓｉｎ Ｂ U ｓｉｎ Ｃ Z （２） T ｓｉｎ Ａ U ｓｉｎ Ｂ U ｓｉｎ Ｃ VWX ａ U ｂ U ｃ VY Ａ U Ｂ U Ｃ． [ /012 ２．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）正弦定理只适用于锐角三角形． （　 ） （２）正弦定理不适用于钝角三角形． （　 ） （３）在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值． （　 ） （４）在△ＡＢＣ中，ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ａｂｃ． （√ ） 知识点３　 正弦定理常见的变形 （１）ａｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａ，ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂ，ａｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 ； （２）ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 ； ［思考］ ●/012 ３．在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ ６０°，Ｂ ＝ ７５°，ａ ＝ ２，则△ＡＢＣ中最小的边长为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡６３ 　 　 　 　 Ｂ． ２槡６ ３ 　 　 　 　 Ｃ．槡２　 　 　 　 Ｄ．槡６ 知识点４　 解三角形 （１）一般地，我们把三角形的　 　 　 　 　 与　 　 　 　 　 都称为三角形的元素． （２）已知三角形的若干元素求　 　 　 　 　 一般称为解三角形． 　 　 提醒： LM:0;-\0]BC^3V_`\3]`^0VaNbc ^dV:0;ec^fghLM\3]i*^3-20V_ij-3] 0VaNWklm^dn\dopd-qrV:0;Pkec^fgh ●/012 ４．在△ＡＢＣ中，若Ａ ＝ ３０°，ａ ＝ ２，ｂ ＝ ２槡３，则此三角形解的个数为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ０　 　 　 　 Ｂ． １　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 Ｄ．不能确定 思考：利用正弦定理解 三角形需要哪些条件？ 提示： st\0]^3 o\3]i*^3- 20 ． $$% 3456%789 ●:;<%=>?@AB 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且槡３ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａ，当 ａ ＝ ２，ｃ ＝槡３时，△ＡＢＣ的面积是 （　 ） Ａ．槡３２ 　 　 　 　 Ｂ． ３ ２ 　 　 　 　 Ｃ．槡３　 　 　 　 Ｄ． ３ ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．在△ＡＢＣ中，若→ＡＢ·→ＡＣ ＝２，且∠ＢＡＣ ＝３０°，则△ＡＢＣ的面积为　 　 　 　 ． ●:;E%F+G?HIJ<KL>?@ ２．在△ＡＢＣ中，已知ｃ ＝ １０，Ａ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ３０°，解这个三角形． ［归纳提升］ 归纳提升：１．三角形面 积问题的求解方法 对于面积公式Ｓ ＝ １ ２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ，一般是已 知哪一个角就使用哪一 个公式． ２．与三角形面积有关的 公式 （１）Ｓ ＝ １２ ａｈａ ＝ １ ２ ｂｈｂ ＝ １ ２ ｃｈｃ（其中ｈａ，ｈｂ，ｈｃ分别 为ａ，ｂ，ｃ上的高）． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｒ（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）＝ １２ ｒｌ（其中ｒ，ｌ分别 为△ＡＢＣ的内切圆半 径及△ＡＢＣ的周长）． （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２Ｒ２ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ａｂｃ４Ｒ（其中Ｒ为 △ＡＢＣ的外接圆的半 径）． （４）海伦公式：Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｐ（ｐ －ａ）（ｐ －ｂ）（ｐ －ｃ槡 ）［其 中ｐ ＝ １２（ａ ＋ｂ ＋ｃ）］． 归纳提升：已知任意两 角和一边，解三角形的 步骤： （１） _0uvw:0; /0]gx_ly: .0 ； （２） _3uvwz{g xV_`|-\3 ． LM/0P}~0 NV€€_liz{ ‚VƒvwI„…†_ d ． $$& 〉 /CD1 ２．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ．若ａ ＝ ６，Ａ ＝ ６０°， Ｂ ＝ ７５°，求ｃ的值． ●:;>%F+GKMNO<KP/?L>?@ ３．已知在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ２槡３，ｂ ＝ ６，Ａ ＝ ３０°，求△ＡＢＣ中其他边与角的 大小． ［分析］　 在△ＡＢＣ中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理 求解，但要注意解的个数的判定． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．在△ＡＢＣ中，ａ ＝槡３，ｂ ＝ １，Ｂ ＝ ３０°，则Ａ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３０° Ｂ． ６０° Ｃ． ６０°或１２０° 　 　 Ｄ． １２０° 归纳提升：已知三角形两 边和其中一边的对角解 三角形的方法 （１） ‡ˆz{gx_l ` ^ 3 1 2 0 - z {‚h （２） K‰LM-0"Š3 12-0NVˆ:0; *‹Š32Š0nŠ0 2Š3Œ-YkŽ `^ 3 1 2 - 0 "  0Vˆz{‚W_0 c^h （３） K‰LM-0"‘3 12-0NVYPkŽ `^312-0" 0V’Nˆz{‚W_ \.0Vt4“”•h $$' ●QRST%UV>?@OWK/W? ４．在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２槡３，ｂ ＝ ２，Ａ ＝ ６０°，则Ｂ ＝ 　 　 　 　 ． ［错解］　 由正弦定理，得ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ × ｓｉｎ Ａａ ＝ ２ × ｓｉｎ ６０° ２槡３ ＝ １２ ． 因为０° ＜ Ｂ ＜ １８０°，所以Ｂ ＝ ３０°或Ｂ ＝ １５０°． ［错因分析］　 本题最易犯的错误就是： （１）由ｓｉｎ Ｂ ＝ １２得Ｂ ＝ ３０°或１５０°，而忽视ｂ ＝ ２ ＜ ａ ＝ ２槡３，从而易出错． （２）在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． ［正解］　 〉 /CD1 ４．已知△ＡＢＣ中，ａ ＝槡２，ｂ ＝槡３，Ｂ ＝ ６０°，那么角Ａ等于 （　 ） Ａ． １３５° Ｂ． ９０° Ｃ． ４５° Ｄ． ３０° XYZ[%\]^ １．在△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，若 Ｂ ＝ ３０°，ｂ ＝ ２，则ａｓｉｎ Ａ的值是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２　 　 Ｂ． ３ Ｃ． ４　 　 Ｄ． ６ ２．在△ＡＢＣ中，若ＡＢＣ ＝１２３，则ａｂｃ ＝ （　 ） Ａ． １２３　 Ｂ． ３２１ Ｃ． １槡３２　 Ｄ． ２槡３１ ３．在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝槡６，Ａ ＝ ７５°，Ｂ ＝ ４５°，则ＡＣ ＝ （　 ） Ａ．槡２ Ｂ． ２ Ｃ．槡３ Ｄ． ３ ４．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ．已 知ａ ＝２槡３，ｂ ＝６，Ａ ＝ π６，则此三角形 （　 ） Ａ．无解 Ｂ．一解 Ｃ．两解 Ｄ．解的个数不确定 ５．已知ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对 边，且ｂ ＝ １，Ａ ＝ ４５°，Ｂ ＝ ３０°，则ａ ＝ 　 　 　 　 ， Ｓ△ＡＢＣ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１                           ］ $$( 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第九章　 解三角形 ９． １　 正弦定理与余弦定理 ９． １． １　 正弦定理 第１课时　 正弦定理 必备知识　 探新知 知识点１　 ａｃ ｓｉｎ Ｂ　 ｂｃ ｓｉｎ Ａ 对应练习 １． Ｂ 　 由题意得，△ＡＢＣ的面积Ｓ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ １ ２ × ３ × ８ｓｉｎ １２０° ＝ １２ × ３ × ８ × 槡３ ２ 槡＝ ６ ３． 知识点２　 正弦　 ｓｉｎ Ｂ 对应练习 ２．（１）× 　 （２）× 　 （３）√　 （４）√ ［提示］　 正弦定理适用于任意三角形，故（１）（２）均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故（３）正确；由比例性质和正弦定理可推知 （４）正确． 知识点３　 （１）ｃｓｉｎ Ａ　 （２）ａｂｃ 对应练习 ３． Ｂ　 由题意，Ｃ ＝ １８０° － ６０° － ７５° ＝ ４５°，故△ＡＢＣ中最小的边 长为ｃ．由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ，故ｃ ＝ ａｓｉｎ Ｃ ｓｉｎ Ａ ＝ ２ ×槡２２ 槡３ ２ ＝ 槡２ ６３ ． 知识点４　 （１）３个角　 ３条边　 （２）其他元素 对应练习 ４． Ｃ　 ｂ·ｓｉｎ Ａ 槡＝ ２ ３ × １２ 槡＝ ３，因为槡 槡３ ＜ ２ ＜ ２ ３，即ｂ·ｓｉｎ Ａ ＜ ａ ＜ ｂ，所以有两个三角形． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：Ｂ　 因为槡３ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａ，由正弦定理得槡３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ， 又Ａ∈（０，π），则ｓｉｎ Ａ≠０，所以槡３ｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂ， 又显然Ｂ≠ π２ ，即ｃｏｓ Ｂ≠０，所以ｔａｎ Ｂ 槡＝ ３， 又Ｂ∈（０，π），所以Ｂ ＝ π３ ， 所以△ＡＢＣ的面积为Ｓ ＝ １２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２ 槡×２ × ３ ×槡 ３ ２ ＝ ３ ２ ． 对点训练 １．槡３３ 　 由 →ＡＢ·→ＡＣ ＝ ２得｜→ＡＢ ｜·｜→ＡＣ ｜·ｃｏｓ ３０° ＝ ２，即ＡＢ·ＡＣ ＝ 槡４ ３ ３ ，所以由三角形面积公式得Ｓ ＝ １ ２ ＡＢ·ＡＣｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ １ ２ × 槡４ ３ ３ × １ ２ ＝ 槡３ ３ ． 　 　 例２：方法一：因为Ａ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ３０°，所以Ｂ ＝ １８０° －（Ａ ＋ Ｃ） ＝ １０５°． 由ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ得ａ ＝ ｃｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ ＝ １０ × ｓｉｎ ４５° ｓｉｎ ３０° 槡＝ １０ ２． 因为ｓｉｎ １０５° ＝ ｓｉｎ ７５° ＝ ｓｉｎ （３０° ＋ ４５°） 　 　 ＝ ｓｉｎ ３０°ｃｏｓ ４５° ＋ ｃｏｓ ３０°ｓｉｎ ４５° ＝槡槡２ ＋ ６４ ， 所以ｂ ＝ ｃｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ２０ ×槡槡 ２ ＋ ６ ４ 槡 槡＝ ５ ２ ＋ ５ ６． 所以ａ 槡＝ １０ ２，ｂ 槡 槡＝ ５ ２ ＋ ５ ６，Ｂ ＝ １０５°． 方法二：设△ＡＢＣ外接圆的直径为２Ｒ， 则２Ｒ ＝ ｃｓｉｎ Ｃ ＝ １０ ｓｉｎ ３０° ＝ ２０． 易知Ｂ ＝ １８０° －（Ａ ＋ Ｃ）＝ １０５°， 　 　 所以ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ 槡＝ ２０ × ｓｉｎ ４５° ＝ １０ ２， ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ ＝ ２０ × ｓｉｎ １０５° ＝ ２０ ×槡槡２ ＋ ６４ 槡 槡＝ ５ ２ ＋ ５ ６． 所以ａ 槡＝ １０ ２，ｂ 槡 槡＝ ５ ２ ＋ ５ ６，Ｂ ＝ １０５°． 对点训练 ２．由题意得，Ｃ ＝ １８０° － ７５° － ６０° ＝ ４５°． 根据正弦定理，得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， 即 ６ｓｉｎ ６０° ＝ ｃ ｓｉｎ ４５°， 解得ｃ 槡＝ ２ ６． 　 　 例３：∵ Ａ为锐角，ｂｓｉｎ Ａ ＝ ６ｓｉｎ ３０° ＝ ３ ＜ ａ ＜ ｂ， ∴本题有两解， ∵ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａａ ＝ 槡３ ２ ，∴ Ｂ ＝ ６０°或１２０°， 当Ｂ ＝ ６０°时，Ｃ ＝ ９０°，ｃ ＝ ａｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ ＝ 槡 ２ ３ｓｉｎ ９０° ｓｉｎ ３０° 槡＝ ４ ３； 当Ｂ ＝ １２０°时，Ｃ ＝ ３０°，ｃ ＝ ａｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ ＝ 槡 ２ ３ｓｉｎ ３０° ｓｉｎ ３０° 槡＝ ２ ３； 综上，Ｂ ＝ ６０°，Ｃ ＝ ９０°，ｃ 槡＝ ４ ３或Ｂ ＝ １２０°，Ｃ ＝ ３０°，ｃ 槡＝ ２ ３． 对点训练 ３． Ｃ　 因为ａ 槡＝ ３，ｂ ＝ １，Ｂ ＝ ３０°， 所以根据正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ， 得ｓｉｎ Ａ ＝ ａ·ｓｉｎ Ｂｂ ＝ 槡３ × １２ １ ＝ 槡３ ２ ，又ａ ＞ ｂ，得到Ａ ＞ Ｂ，即 ３０° ＜ Ａ ＜ １８０°，则Ａ ＝ ６０°或１２０°． 　 　 例４：３０°　 由正弦定理，得 ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ × ｓｉｎ Ａａ ＝ ２ × ｓｉｎ ６０° 槡２ ３ ＝ １２ ． 因为０° ＜ Ｂ ＜ １８０°，所以Ｂ ＝ ３０°或Ｂ ＝ １５０°． 因为ｂ ＜ ａ，根据三角形中大边对大角可知Ｂ ＜ Ａ， 所以Ｂ ＝ １５０°不符合条件，应舍去，所以Ｂ ＝ ３０°． 对点训练 ４． Ｃ　 在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ， 即槡２ｓｉｎ Ａ ＝ 槡 ３ ｓｉｎ ６０°                                                               ， —１８１— ∴ ｓｉｎ Ａ ＝ 槡２ ×槡３２ 槡３ ＝槡２２ ． ∵ ａ ＜ ｂ，∴ Ａ ＜ Ｂ，∴ Ａ ＝ ４５°． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 由正弦定理可得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ２ ｓｉｎ ３０° ＝ ４． ２． Ｃ　 设Ａ ＝ ｋ，Ｂ ＝２ｋ，Ｃ ＝３ｋ，由Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ １８０°，得６ｋ ＝ １８０°，ｋ ＝ ３０°，所以Ａ ＝３０°，Ｂ ＝６０°，Ｃ ＝９０°，ａｂｃ ＝ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ １槡３２． ３．Ｂ　 因为Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ ＝１８０°，所以Ｃ ＝６０°，由正弦定理可得， ＡＢｓｉｎ ６０° ＝ ＡＣ ｓｉｎ ４５°，即槡槡 ６ ３ ２ ＝ ＡＣ 槡２ ２ ，解得ＡＣ ＝２． ４．Ｃ　 由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，得槡 ２ ３ １ ２ ＝ ６ｓｉｎ Ｂ，解得ｓｉｎ Ｂ ＝槡 ３ ２ ． 因为ａ ＜ｂ，所以Ａ ＜Ｂ． 又因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ ＝ π３或Ｂ ＝ ２π ３ ，故此三角形有两解．故 选Ｃ． ５．槡２　 槡３ ＋１４ 　 由正弦定理 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，可得 ａ ｓｉｎ ４５° ＝ １ ｓｉｎ ３０°，所以ａ ＝ 槡２，则ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ（４５° ＋ ３０°）＝ ｓｉｎ ４５° ｃｏｓ ３０° ＋ ｃｏｓ ４５°ｓｉｎ ３０° ＝槡２２ ×槡 ３ ２ ＋ 槡２ ２ × １ ２ ＝ 槡槡６ ＋ ２ ４ ， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ 槡× ２ × １ ×槡槡 ６ ＋ ２ ４ ＝ 槡３ ＋ １ ４ ． 第２课时　 正弦定理的应用 必备知识　 探新知 知识点１　 ２Ｒ　 ２Ｒ　 对应练习 １．由正弦定理得 ＢＤｓｉｎ∠ＢＣＤ ＝ ２Ｒ，即ＢＤ ＝ ２ × 槡５ ３ ３ × 槡３ ２ ＝ ５． 知识点２ 　 （１） ａ ＋ ｂ ＋ ｃｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ 　 （２）２Ｒｓｉｎ Ａ 　 ２Ｒｓｉｎ Ｂ 　 ２Ｒｓｉｎ Ｃ　 （３）ａ２Ｒ　 ｂ ２Ｒ　 ｃ ２Ｒ 对应练习 ２． Ｃ　 由ａｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃ ｃｏｓ Ｃ和正弦定理 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ，可 得ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｃ ｃｏｓ Ｃ，即ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ Ｂ ＝ ｔａｎ Ｃ，所以Ａ ＝ Ｂ ＝ Ｃ．故△ＡＢＣ为等边三角形． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 （２）Ｂ　 （１）方法一：因为２ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｂ等价于 ａ 槡３ ２ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ，又由正弦定理可知 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，所以ｓｉｎ Ａ ＝槡 ３ ２ ，又 △ＡＢＣ为锐角三角形，所以Ａ ＝ π３ ． 　 　 方法二：因为２ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ ｂ，由正弦定理的推广可得ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径），则２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ，又ｓｉｎ Ｂ≠０，所以ｓｉｎ Ａ ＝槡３２ ，又△ＡＢＣ为锐角三角形， 则Ａ ＝ π３ ． 　 　 （２）∵ ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ 槡＝ ２ｓｉｎ Ａ， 　 　 ∴ ｂ ＋ ｃ 槡＝ ２ａ， 　 　 又△ＡＢＣ的周长为２（槡２ ＋ １）， 　 　 ∴ ｂ ＋ ｃ ＋ ａ 槡＝ ２ａ ＋ ａ ＝ ２（槡２ ＋ １），解得ａ ＝ ２． 对点训练 　 １．（１）Ｄ　 （２）Ｄ　 （１）∵ ａ ＝１，槡３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋（槡３ｓｉｎ Ｃ ＋ ｂ）ｃｏｓ Ａ ＝０，槡∴ ３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ 槡＋ ３ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 槡∴ ３ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｃ）槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 槡∴ ３ａｓｉｎ Ｂ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 由正弦定理可得，槡３ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ － ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ． ∵ ｓｉｎ Ｂ≠０，槡∴ ３ｓｉｎ Ａ ＝ － ｃｏｓ Ａ，∴ ｔａｎ Ａ ＝ －槡３３ ． ∵ Ａ∈（０，π），∴ Ａ ＝ ５π６ ．故选Ｄ． （２）∵ ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｂｃｏｓ Ｂ， ∴由正弦定理可得ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ， 即ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ． ∵ ｓｉｎ Ｂ≠０，∴ ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ，∴ Ｂ ＝ π ３ ． ∵ ｃｏｓ ２Ｂ ＋ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １， ∴ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １ － ｃｏｓ ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎ２Ｂ ＝ ３２ ， ∴ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ ３４ ． ∵ ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｃ）＝ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ － ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ － ｃｏｓ Ｂ ＝ － １２ ， ∴ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ ＝ １４ ， ∴ ｃｏｓ（Ａ －Ｃ）＝ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １４ ＋ ３ ４ ＝１， ∴ Ａ － Ｃ ＝ ０，Ａ ＝ Ｃ． ∵ Ａ ＋ Ｃ ＝ π － Ｂ ＝ ２π３ ， ∴ Ａ ＝Ｃ ＝Ｂ ＝ π３ ，∴ ａ ＝ ｂ ＝ ｃ，∴ ａ －２ｂ ＋ ｃ ＝０，故选Ｄ． 　 　 例２：∵ ａ ＝ ２ｂｓｉｎ Ａ， 　 　 ∴由正弦定理得ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ，∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ １２ ． 　 　 ∵ Ｂ为锐角，∴ Ｂ ＝ π６ ． 　 　 令ｙ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ ［π －（Ｂ ＋ Ａ）］ 　 　 ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ π６ ＋( )Ａ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ π６ ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ π６ ｓｉｎ Ａ 　 　 ＝ ３２ ｃｏｓ Ａ ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ． 　 　 由△ＡＢＣ是锐角三角形知，０ ＜ Ａ ＜ π２且０ ＜ ５π ６ － Ａ ＜ π ２ ， 　 　 ∴ π３ ＜ Ａ ＜ π ２ ， 　 　 ∴ ２π３ ＜ Ａ ＋ π ３ ＜ ５π ６ ，∴ １ ２ ＜ ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＜槡３２ ， 　 　 ∴槡３２ 槡＜ ３ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＜ ３２ ，即槡３２ ＜ ｙ ＜ ３２ ， 　 　 ∴ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ的取值范围是槡３ ２ ，( )３２ ． 对点训练 ２． Ｄ　 因为在△ＡＢＣ中，ｃ ＝ ２（ａｃｏｓ Ｂ － ｂｃｏｓ Ａ），由正弦定理可得 ２ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ － ２ｓｉｎ Ｂ·ｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｃ． 因为Ｃ ＝ π －（Ａ ＋ Ｂ），可得ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ， 即ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＝ ３ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ，即ｔａｎ Ａ ＝ ３ｔａｎ Ｂ                                                                       ， —１８２—