9.1.1 第1课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

　解三角形 　　　　　　　　　　 9.1　正弦定理与余弦定理 　　　　　　　　　9.1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.　 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则 S=absin C=acsin B=bcsin A.  2.正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等 符号语言 == 3.解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 4.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A，asin C=csin A，bsin C=csin B.　 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. (　　) (2)在△ABC中，若c2>a2+b2，则△ABC为钝角三角形. (　　) (3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.在△ABC中，A=60°，BC=，则△ABC外接圆的半径为 (　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:选B　设R为△ABC外接圆的半径，则由正弦定理，得2R===2，解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. 3.在△ABC中，A=45°，c=2，则AC边上的高等于　　　　.  解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 答案: 4.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B=b，则A=　　　　.  解析:在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B，∵sin B≠0，∴sin A=. 又A为锐角，∴A=. 答案: 题型(一)　已知两角和一边解三角形 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例1]　在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，c及三角形的面积. 解:由已知，得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由=，得c== ==4(+1). 所以A=45°，c=4(+1)，S△ABC=acsin B=×8×4(+1)×=24+8. |思|维|建|模| 已知两角及一边解三角形 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论. 　　[针对训练] 1.在△ABC中，若B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:选C　根据题意得A=180°-135°-15°=30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理=，得b===5. 2.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，求a的值. 解:在△ABC中，可得A=180°-B-C=180°-30°-135°=15°，又sin 15°=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= 由正弦定理得=，所以a===-. 题型(二)　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解三角形. 解:∵=， ∴sin C===. ∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°，b===+1； 当C=120°时，B=15°，b===-1. ∴b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. 　　[变式拓展] 1.若本例条件增加“b>a”，求△ABC的面积. 解:由例2知，b=+1，C=60°， 故S△ABC=×2×(+1)×=. 2.若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，试判断角A有几个值? 解:∵=，∴sin A===. ∵c=>2=a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. |思|维|建|模| 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角，注意是否有两组解； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3)根据正弦定理求出第三条边.　 　　[针对训练] 3.在△ABC中，AB=2，AC=3，B=60°，则cos C等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由正弦定理，得=， 即=，解得sin C=， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C==. 4.在△ABC中，a=1，b=，A=30°，求边c的长. 解:由=，得sin B==. ∵a<b，∴B>A=30°， ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时，C=180°-60°-30°=90°. 此时，c= ==2. 当B=120°时， C=180°-120°-30°=30°.此时，c=a=1. 综上所述c=1或2. 题型(三)　三角形多解问题 [例3]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，不解三角形，确定下列判断正确的是 (　　) A.B=60°，c=4，b=5，有两解 B.B=60°，c=4，b=3.9，有一解 C.B=60°，c=4，b=3，有一解 D.B=60°，c=4，b=2，无解 解析:选D　因为B=60°，c=4，如图，AD⊥BD于D，由直角△ADB可得AD=c×sin 60°=2.当b=2或b≥4时，有一解；当b<2时，无解；当2<b<4时，有两解.结合四个选项，可知A、B、C三项错误. 　　|思|维|建|模| 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角 关系 式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 图形 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 　　[针对训练] 5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是 (　　) A.a=5，b=4，A=　　　 B.a=4，b=5，A= C.a=5，b=4，A= D.a=4，b=5，A= 解析:选B　对于A，由正弦定理可知，=⇒sin B=.∵a>b，∴B<A=，故△ABC有一解；对于B，由正弦定理可知，=⇒sin B=.∵b>a，∴B>A=，故△ABC有两解；对于C，由正弦定理可知，=⇒sin B=.∵A为钝角，∴B一定为锐角，故△ABC有一解；对于D，由正弦定理可知，=⇒sin B=>1，故△ABC无解. 6.在△ABC中，若A=120°，c=10，如果△ABC可解，求a的取值范围. 解:由题意，在△ABC中，若A=120°，则0°<C<60°，由正弦定理得=，∴sin C===.由△ABC可解，得0<sin C=<，解得a>10，故边a的取值范围是(10，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $