9.1.1 第2课时 正弦定理的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

∴ ｓｉｎ Ａ ＝ 槡２ ×槡３２ 槡３ ＝槡２２ ． ∵ ａ ＜ ｂ，∴ Ａ ＜ Ｂ，∴ Ａ ＝ ４５°． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 由正弦定理可得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ２ ｓｉｎ ３０° ＝ ４． ２． Ｃ　 设Ａ ＝ ｋ，Ｂ ＝２ｋ，Ｃ ＝３ｋ，由Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ １８０°，得６ｋ ＝ １８０°，ｋ ＝ ３０°，所以Ａ ＝３０°，Ｂ ＝６０°，Ｃ ＝９０°，ａｂｃ ＝ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ １槡３２． ３．Ｂ　 因为Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ ＝１８０°，所以Ｃ ＝６０°，由正弦定理可得， ＡＢｓｉｎ ６０° ＝ ＡＣ ｓｉｎ ４５°，即槡槡 ６ ３ ２ ＝ ＡＣ 槡２ ２ ，解得ＡＣ ＝２． ４．Ｃ　 由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，得槡 ２ ３ １ ２ ＝ ６ｓｉｎ Ｂ，解得ｓｉｎ Ｂ ＝槡 ３ ２ ． 因为ａ ＜ｂ，所以Ａ ＜Ｂ． 又因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ ＝ π３或Ｂ ＝ ２π ３ ，故此三角形有两解．故 选Ｃ． ５．槡２　 槡３ ＋１４ 　 由正弦定理 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，可得 ａ ｓｉｎ ４５° ＝ １ ｓｉｎ ３０°，所以ａ ＝ 槡２，则ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ（４５° ＋ ３０°）＝ ｓｉｎ ４５° ｃｏｓ ３０° ＋ ｃｏｓ ４５°ｓｉｎ ３０° ＝槡２２ ×槡 ３ ２ ＋ 槡２ ２ × １ ２ ＝ 槡槡６ ＋ ２ ４ ， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ 槡× ２ × １ ×槡槡 ６ ＋ ２ ４ ＝ 槡３ ＋ １ ４ ． 第２课时　 正弦定理的应用 必备知识　 探新知 知识点１　 ２Ｒ　 ２Ｒ　 对应练习 １．由正弦定理得 ＢＤｓｉｎ∠ＢＣＤ ＝ ２Ｒ，即ＢＤ ＝ ２ × 槡５ ３ ３ × 槡３ ２ ＝ ５． 知识点２ 　 （１） ａ ＋ ｂ ＋ ｃｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ 　 （２）２Ｒｓｉｎ Ａ 　 ２Ｒｓｉｎ Ｂ 　 ２Ｒｓｉｎ Ｃ　 （３）ａ２Ｒ　 ｂ ２Ｒ　 ｃ ２Ｒ 对应练习 ２． Ｃ　 由ａｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃ ｃｏｓ Ｃ和正弦定理 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ，可 得ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｃ ｃｏｓ Ｃ，即ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ Ｂ ＝ ｔａｎ Ｃ，所以Ａ ＝ Ｂ ＝ Ｃ．故△ＡＢＣ为等边三角形． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 （２）Ｂ　 （１）方法一：因为２ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｂ等价于 ａ 槡３ ２ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ，又由正弦定理可知 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，所以ｓｉｎ Ａ ＝槡 ３ ２ ，又 △ＡＢＣ为锐角三角形，所以Ａ ＝ π３ ． 　 　 方法二：因为２ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ ｂ，由正弦定理的推广可得ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径），则２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ，又ｓｉｎ Ｂ≠０，所以ｓｉｎ Ａ ＝槡３２ ，又△ＡＢＣ为锐角三角形， 则Ａ ＝ π３ ． 　 　 （２）∵ ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ 槡＝ ２ｓｉｎ Ａ， 　 　 ∴ ｂ ＋ ｃ 槡＝ ２ａ， 　 　 又△ＡＢＣ的周长为２（槡２ ＋ １）， 　 　 ∴ ｂ ＋ ｃ ＋ ａ 槡＝ ２ａ ＋ ａ ＝ ２（槡２ ＋ １），解得ａ ＝ ２． 对点训练 　 １．（１）Ｄ　 （２）Ｄ　 （１）∵ ａ ＝１，槡３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋（槡３ｓｉｎ Ｃ ＋ ｂ）ｃｏｓ Ａ ＝０，槡∴ ３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ 槡＋ ３ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 槡∴ ３ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｃ）槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 槡∴ ３ａｓｉｎ Ｂ ＝ － ｂｃｏｓ Ａ， 由正弦定理可得，槡３ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ － ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ． ∵ ｓｉｎ Ｂ≠０，槡∴ ３ｓｉｎ Ａ ＝ － ｃｏｓ Ａ，∴ ｔａｎ Ａ ＝ －槡３３ ． ∵ Ａ∈（０，π），∴ Ａ ＝ ５π６ ．故选Ｄ． （２）∵ ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｂｃｏｓ Ｂ， ∴由正弦定理可得ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ， 即ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ． ∵ ｓｉｎ Ｂ≠０，∴ ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ，∴ Ｂ ＝ π ３ ． ∵ ｃｏｓ ２Ｂ ＋ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １， ∴ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １ － ｃｏｓ ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎ２Ｂ ＝ ３２ ， ∴ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ ３４ ． ∵ ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｃ）＝ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ － ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ － ｃｏｓ Ｂ ＝ － １２ ， ∴ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ ＝ １４ ， ∴ ｃｏｓ（Ａ －Ｃ）＝ ｃｏｓ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １４ ＋ ３ ４ ＝１， ∴ Ａ － Ｃ ＝ ０，Ａ ＝ Ｃ． ∵ Ａ ＋ Ｃ ＝ π － Ｂ ＝ ２π３ ， ∴ Ａ ＝Ｃ ＝Ｂ ＝ π３ ，∴ ａ ＝ ｂ ＝ ｃ，∴ ａ －２ｂ ＋ ｃ ＝０，故选Ｄ． 　 　 例２：∵ ａ ＝ ２ｂｓｉｎ Ａ， 　 　 ∴由正弦定理得ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ，∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ １２ ． 　 　 ∵ Ｂ为锐角，∴ Ｂ ＝ π６ ． 　 　 令ｙ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ ［π －（Ｂ ＋ Ａ）］ 　 　 ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ π６ ＋( )Ａ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ π６ ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ π６ ｓｉｎ Ａ 　 　 ＝ ３２ ｃｏｓ Ａ ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ． 　 　 由△ＡＢＣ是锐角三角形知，０ ＜ Ａ ＜ π２且０ ＜ ５π ６ － Ａ ＜ π ２ ， 　 　 ∴ π３ ＜ Ａ ＜ π ２ ， 　 　 ∴ ２π３ ＜ Ａ ＋ π ３ ＜ ５π ６ ，∴ １ ２ ＜ ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＜槡３２ ， 　 　 ∴槡３２ 槡＜ ３ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＜ ３２ ，即槡３２ ＜ ｙ ＜ ３２ ， 　 　 ∴ ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ的取值范围是槡３ ２ ，( )３２ ． 对点训练 ２． Ｄ　 因为在△ＡＢＣ中，ｃ ＝ ２（ａｃｏｓ Ｂ － ｂｃｏｓ Ａ），由正弦定理可得 ２ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ － ２ｓｉｎ Ｂ·ｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｃ． 因为Ｃ ＝ π －（Ａ ＋ Ｂ），可得ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ， 即ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＝ ３ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ，即ｔａｎ Ａ ＝ ３ｔａｎ Ｂ                                                                       ， —１８２— 所以ｔａｎ（Ａ －Ｂ）＝ ｔａｎ Ａ － ｔａｎ Ｂ１ ＋ ｔａｎ Ａ·ｔａｎ Ｂ ＝ ２ｔａｎ Ｂ １ ＋３ｔａｎ２Ｂ ＝ ２１ ｔａｎ Ｂ ＋３ｔａｎ Ｂ ． 因为ｔａｎ Ａ ＝ ３ｔａｎ Ｂ，可得ｔａｎ Ｂ ＞ ０， 所以１ｔａｎ Ｂ ＋ ３ｔａｎ Ｂ≥ ２ １ ｔａｎ Ｂ·３ｔａｎ槡 Ｂ 槡＝ ２ ３，当且仅当 ｔａｎ Ｂ ＝槡３３ ，即Ｂ ＝ π ６ ，Ｃ ＝ π ２ ，Ａ ＝ π ３时取“＝”，所以ｔａｎ（Ａ － Ｂ）≤槡３３ ，即ｔａｎ（Ａ － Ｂ）的最大值为槡 ３ ３ ． 　 　 例３：方法一：在△ＡＢＣ中，根据正弦定理： ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝２Ｒ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径）． 　 　 ∵ ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ， 　 　 ∴ ａ２( )Ｒ ２ ＝ ｂ２( )Ｒ ２ ＋ ｃ２( )Ｒ ２ ， 　 　 即ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２， 　 　 ∴ ∠Ａ ＝ ９０°，∴ ∠Ｂ ＋∠Ｃ ＝ ９０°， 　 　 由ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ， 　 　 得ｓｉｎ ９０° ＝ ２ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ （９０° － Ｂ）， 　 　 ∴ ｓｉｎ２Ｂ ＝ １２ ． 　 　 ∵ ∠Ｂ是锐角，∴ ｓｉｎ Ｂ ＝槡２２ ， 　 　 ∴ ∠Ｂ ＝ ４５°，∠Ｃ ＝ ４５°， 　 　 ∴ △ＡＢＣ是等腰直角三角形． 　 　 方法二：在△ＡＢＣ中，根据正弦定理，得 　 　 ｓｉｎ Ａ ＝ ａ２Ｒ，ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ２Ｒ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的 半径）． 　 　 ∵ ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ， 　 　 ∴ ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２， 　 　 ∴ △ＡＢＣ是直角三角形且∠Ａ ＝ ９０°． 　 　 ∵ ∠Ａ ＝ １８０° －（∠Ｂ ＋∠Ｃ），ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ， 　 　 ∴ ｓｉｎ （Ｂ ＋ Ｃ）＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ． 　 　 ∴ ｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｃ － ｃｏｓ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ ０， 　 　 即ｓｉｎ （Ｂ － Ｃ）＝ ０． ∴ ∠Ｂ －∠Ｃ ＝ ０，即∠Ｂ ＝∠Ｃ． 　 　 ∴ △ＡＢＣ是等腰直角三角形． 对点训练 ３．（１）Ａ　 （２）Ｃ　 （１）根据正弦定理，得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ． 又ｓｉｎ Ａａ ＝ ｃｏｓ Ｂ ｂ ，所以 ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｂ，则ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃｏｓ Ｂ，即ｔａｎ Ｂ ＝１， 则Ｂ ＝４５°． 同理可得Ｃ ＝ ４５°，所以Ａ ＝ １８０° － Ｃ － Ｂ ＝ ９０°． 故△ＡＢＣ为等腰直角三角形． （２）由正弦定理知ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ，ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，则３ｂ 槡＝ ２ ３ａｓｉｎ Ｂ 可化为３ｓｉｎ Ｂ 槡＝ ２ ３ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ． ∵ ０° ＜Ｂ ＜１８０°，∴ ｓｉｎ Ｂ≠０，∴ ｓｉｎ Ａ ＝槡３２ ，∴ Ａ ＝ ６０°或Ａ ＝ １２０°， 又ｃｏｓ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｃ，∴ Ａ ＝ Ｃ，∴ Ａ ＝ ６０°，∴ △ＡＢＣ为等边三角形． 　 　 例４：以上同错解． ｂａ ＝４ｃｏｓ ２Ａ －１，∵ Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝１８０°，Ｂ ＝３Ａ， ∴ Ａ ＋Ｂ ＝４Ａ ＜１８０°，∴ ０° ＜ Ａ ＜４５°，∴槡２２ ＜ ｃｏｓ Ａ ＜１，∴ １ ＜４ｃｏｓ ２Ａ － １ ＜３，∴ １ ＜ ｂａ ＜３，即 ｂ ａ的取值范围为（１，３）． 对点训练 ４． Ａ　 ∵在锐角三角形ＡＢＣ中，Ｂ ＝ ２Ａ，∴ ０ ＜ ２Ａ ＜ π２ ，且Ｂ ＋ Ａ ＝ ３Ａ，∴ Ｃ ＝ π － ３Ａ． ∵ ０ ＜ π － ３Ａ ＜ π２ ，∴ π ６ ＜ Ａ ＜ π ４ ，∴槡 ２ ２ ＜ ｃｏｓ Ａ ＜ 槡３ ２ ． ∵ ａ ＝ ２，Ｂ ＝ ２Ａ，∴由正弦定理得ｂａ ＝ ｓｉｎ ２Ａ ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｃｏｓ Ａ， ∴ ｂ ＝ ４ｃｏｓ Ａ， 槡∴ ２ ２ ＜ ４ｃｏｓ Ａ 槡＜ ２ ３，则ｂ的取值范围 为槡２ ２，槡( )２ ３ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 在△ＡＢＣ中，∵ Ａ ＝ １０５°，Ｂ ＝ ４５°，ｂ 槡＝ ２ ２，∴ Ｃ ＝ １８０° － Ａ － Ｂ ＝ ３０°，∴由正弦定理可得ｃ ＝ ｂｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｂ ＝ 槡２ ２ × １２ 槡２ ２ ＝ ２． ２． Ａ　 由已知得Ａ ＝ ７５°，所以Ｂ最小，故最短边为ｂ． 由ｃｓｉｎ Ｃ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，得ｂ ＝ ｃｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ ４５° ｓｉｎ ６０° ＝ 槡６ ３ ． ３． Ｄ　 如图所示： 因为ＡＣ ＝ ｂ ＝ ２，若三角形有两个解， 则以Ｃ为圆心，以２为半径的圆与ＢＡ有两个交点， 当∠Ａ ＝ ９０°时，圆与ＢＡ相切，不合题意； 当∠Ａ ＝ ３０°时，圆与ＢＡ交于Ｂ点，不合题意； 所以３０° ＜∠Ａ ＜ １５０°，且∠Ａ≠９０°， 所以１２ ＜ ｓｉｎ Ａ ＜ １．由正弦定理得： ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂｂ ＝ １ ４ ｘ，则 １ ２ ＜ １ ４ ｘ ＜ １， 解得２ ＜ ｘ ＜ ４，故选Ｄ． ４．直角　 因为ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ａｓｉｎ Ａ， 所以由正弦定理可得ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ２Ａ， ｓｉｎ（Ｂ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ２Ａｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ２Ａ， 所以ｓｉｎ Ａ ＝ １，Ａ ＝ π２ ， 所以△ＡＢＣ是直角三角形． ５． １　 １２ 　 因为ｂｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｃ，所以由正弦定理可得ｂａ ＝ ａｃ，所 以ｂ ＝ ｃ ＝ １；所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ １ ２ ｓｉｎ Ａ≤ １ ２ ，当ｓｉｎ Ａ ＝ １，即Ａ ＝ ９０°时三角形面积最大． ９． １． ２　 余弦定理 必备知识　 探新知 知识点　 减去　 两　 ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ　 ｃ２ ＋ ａ２ － ２ｃａｃｏｓ Ｂ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ　 ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ 　 ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ 　 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ 对应练习 １．（１）× 　 （２）√　 （３）√　 （４）√ ［提示］　 （１）由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两 边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理 求解． （２）余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三 角形． （３）结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确． （４）余弦定理可以看作勾股定理的推广． ２． １２０°　 因为ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｂｃ ＋ ｃ２， 所以ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ － ｂｃ， 所以ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ＝ － ｂｃ ２ｂｃ ＝ － １ ２                                                                       ， —１８３— 第２课时　 正弦定理的应用 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．正弦定理中，设ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｋ，了解ｋ与 △ＡＢＣ外接圆的半径的关系． ２．应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的边角转 化问题． ３．能根据条件判断三角形解的个数． １．通过应用正弦定理判断三角形的形 状，培养逻辑推理的核心素养． ２．借助利用正弦定理求解三角形的边 或角的取值范围，培养数学运算的 核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正弦定理的推广 　 　 在正弦定理中，设ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｋ，设△ＡＢＣ外接圆的半径为 Ｒ，通过探讨，我们可以得到常数ｋ ＝ 　 　 　 　 　 ，即ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 ． ［思考１］　 ［思考２］ ●/012 １．已知△ＢＣＤ是⊙Ｏ的内接三角形，⊙Ｏ的半径为５槡３３ ，且∠ＢＣＤ ＝ ６０°，求 ＢＤ的长． 知识点２　 正弦定理变形公式 　 　 １． ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＝ ２Ｒ； 　 　 ２． ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｃ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 ３． ｓｉｎ Ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｓｉｎ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 ，ｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒： Ž:0;-;–V—}vw˜™š›V4œi}P}0: 0;n0:0;nQ3:0;nQž:0;nŸ0:0;nQžŸ0 :0;QVt~5 C‹QžŸ0:0;Œ¡‹Qž:0;oŸ0:0 ;Œ-¢5h 思考１：能够应用正弦 定理求解的三角形问题 有哪几种类型？ 提示：（１） LM\0] ^3d:0; ；（２） L M\3]i*^3-2 0d:0; ． 思考２：若已知角不是 特殊角，应用正弦定理 时如何处理？ 提示： TLM0P}~ 0V€€_liz {‚ （ ’N£ C0-¤ ¥V¦+§~0¨© "~0-]oª ） Vƒ «Oz{gx_d:0 ;-3o0h $$) ●/012 ２．已知ａ，ｂ，ｃ分别是△ＡＢＣ的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边，且满足ａｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃ ｃｏｓ Ｃ，则△ＡＢＣ的 形状是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．钝角三角形　 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等边三角形　 Ｄ．等腰直角三角形 3456%789 ●:;<%K?_`L>?@ １．（１）在锐角△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ所对的边长分别为ａ，ｂ．若２ａｓｉｎ Ｂ ＝ 槡３ｂ，则Ａ等于 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π３ Ｂ． π ４ Ｃ． π ６ Ｄ． π １２ （２）已知ａ，ｂ，ｃ分别是△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若△ＡＢＣ的周 长为２（槡２ ＋ １），且ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝槡２ｓｉｎ Ａ，则ａ ＝ （　 ） Ａ．槡２ Ｂ． ２ Ｃ． ４ Ｄ． ２槡２ 　 　 ［分析］　 可以直接运用正弦定理处理，也可以利用ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径）实现齐次条件下的化边为角或化角 为边． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．（１）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａ ＝ １，槡３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ （槡３ｓｉｎ Ｃ ＋ ｂ）ｃｏｓ Ａ ＝ ０，则Ａ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２π３ Ｂ． π ３ Ｃ． π ６ Ｄ． ５π ６ （２）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｂｃｏｓ Ｂ，且ｃｏｓ ２Ｂ ＋ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １，则ａ － ２ｂ ＋ ｃ ＝ （　 ） Ａ．槡２２ Ｂ．槡２ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ●:;E%=abcdef: ２．在锐角三角形ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ａ ＝ ２ｂｓｉｎ Ａ，求ｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ的取值范围． ［归纳提升］ 归纳提升： 30¬©} z{gx§H­t-£ Oh’“st®d˜¯ °*+š›*-30R S¨©"0-RSo3 -RS-˜™®±²- ³´µ*¶·H'V¸ at¹º«O30¬© d:0;-²˜-~ »h^¼½¾V·š› *¿b~ÀVK槡３（€ €]~0bR ） VoÁ ÂÃ~»ÄÅNVHÆ Ç30¬©½d˜h 归纳提升：在三角形中 解决三角函数的取值范 围或最值问题的思路 È １ É«Oz{gxx Ê:0;*Ë(ÌÍ- RSo_lÎÏÌZ È ２ É+t_ЂoF ‚ÑÒ-ÌÓÔÕÎ^ ÖÌ-×ÀÈ:0× ÀÉVØÙ¨©"_× À-‚ÚoЂ-Û ˜ ． $$* 〉 /CD1 ２．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｃ ＝ ２（ａｃｏｓ Ｂ － ｂｃｏｓ Ａ），则ｔａｎ（Ａ － Ｂ）的最大值为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡３２ Ｂ．槡３ Ｃ． １ Ｄ．槡 ３ ３ ●:;>%gh>?@P@i ３．在△ＡＢＣ中，若ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ，且ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ，试判断 △ＡＢＣ的形状． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．（１）在△ＡＢＣ中，若ｓｉｎ Ａａ ＝ ｃｏｓ Ｂ ｂ ＝ ｃｏｓ Ｃ ｃ ，则该三角形一定是 （　 ） Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形或直角三角形 Ｃ．等腰三角形但不是直角三角形 Ｄ．直角三角形但不是等腰三角形 （２）在△ＡＢＣ中，若３ｂ ＝２槡３ａｓｉｎ Ｂ，ｃｏｓ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｃ，则△ＡＢＣ的形状为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．直角三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．等边三角形 Ｄ．无法确定 ●QRST%Uj?Pkeablm ４．在△ＡＢＣ中，若Ｂ ＝ ３Ａ，求ｂａ的取值范围． 　 　 ［错解］　 由正弦定理得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，∴ ｂ ａ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ ３Ａ ｓｉｎ Ａ 　 　 ＝ ｓｉｎ （Ａ ＋ ２Ａ）ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ ２Ａ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ ２Ａ ｓｉｎ Ａ 　 　 ＝ ｃｏｓ ２Ａ ＋ ２ｃｏｓ２Ａ ＝ ４ｃｏｓ２Ａ － １． 　 　 ∵ ０≤ｃｏｓ２Ａ≤１，∴ －１≤４ｃｏｓ２Ａ － １≤３，∴ －１≤ ｂａ≤３． 　 　 ［错因分析］　 上述解法中忽视了角Ａ的取值范围，认为ｃｏｓ Ａ∈［０，１］， 这是不对的，应结合三角形内角和定理及角之间的关系，对角Ａ的范围加以 确定． 　 　 ［正解］　 归纳提升：三角形形状 的判断方法 （１） ©3"0V܋:0 Ö;ŒÝÞVHO-¨© $?bu! ａ ＝２Ｒｓｉｎ Ａ V ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ V ｃ ＝ ２ＲｓｉｎＣ （Ｒ ", ＡＢＣ |ßà-á â ） Z8 ａ ｂ ＝ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ ＢV ａ ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ， ｂ ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃh （２） ©0"3V܋ãÀ Ö;ŒÝÞVHO-¨© $?bu! ｓｉｎ Ａ ＝ ｂ２ＲV ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ２ＲVｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ２Ｒ（Ｒ ", ＡＢＣ |ßà-á â ） Z8 ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ ａ ｂV ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ ＝ ａｃ ， ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｂ ｃ h $$+ 　 　 ［误区警示］　 解决与三角形有关的问题时，确定角的取值范围至关重要．有些题中，角的取值 范围隐含在所给的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往会因为疏漏而导致错解． 〉 /CD1 ４．设锐角三角形ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ａ ＝２，Ｂ ＝２Ａ，则ｂ的取值范围为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２槡２，２槡( )３ Ｂ．（２槡２，４） Ｃ．（２，２槡３） Ｄ．（０，４） XYZ[%\]^ １．在△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，若 Ａ ＝ １０５°，Ｂ ＝ ４５°，ｂ ＝ ２槡２，则ｃ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． １ Ｃ．槡２ Ｄ． ２ ２．在△ＡＢＣ中，若Ｂ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ６０°，ｃ ＝ １，则最短 边的长是 （　 ） Ａ．槡６３ Ｂ．槡 ６ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ ３．已知在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ｘ，ｂ ＝ ２，Ｂ ＝ ３０°，若三角 形有两解，则ｘ的取值范围是 （　 ） Ａ． ｘ ＞ ２　 　 Ｂ． ０ ＜ ｘ ＜ ２ Ｃ． ２ ＜ ｘ ＜ ３　 　 Ｄ． ２ ＜ ｘ ＜ ４ ４．设在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ， ｂ，ｃ，若ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ａｓｉｎ Ａ，则△ＡＢＣ的形 状为　 　 　 　 　 三角形． ５．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ． 若ｂｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｃ，ｃ ＝１，则ｂ ＝ 　 　 　 　 ，△ＡＢＣ 面积的最大值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２                   ］ ９． １． ２　 余弦定理 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法． ２．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． ３．能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及 形状判断等问题． １．借助余弦定理的推导，提升逻辑推 理的素养． ２．通过余弦定理的应用的学习，培养 数学运算的素养． )*+,%-.+ 知识点　 余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和　 　 　 　 　 　 这两边与它们的夹角的余弦的积的　 　 　 　 　 　 倍 符号语言 在△ＡＢＣ中，ａ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ， ｂ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ， ｃ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 推论 在△ＡＢＣ中， ｃｏｓ Ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，ｃｏｓ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ， ｃｏｓ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 $$!