第七章 专题微课 三角函数图象与性质的综合 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

第七章 专题微课 三角函数图象与性质的综合 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x=- 解析:选B　函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故选B. 2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-. 3.函数y=xsin x|cos x|在[-π,π]上的图象大致是 (　　) 解析:选D　易知f(x)是偶函数,排除B、C项;当0≤x≤π时,sin x≥0,所以y=xsin x|cos x|≥0.排除A项. 4.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为 (　　) A.π B. C. D. 解析:选A　f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π. 5.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为 (　　) A. B. C. D.π 解析:选A　易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位得到函数f(x)=cos的图象, 则函数f(x)=cos的增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增, 所以⇒a≤,于是0<a≤,即a的最大值为. 6.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω= (　　) A. B. C. D.1 解析:选C　当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C. 7.关于函数f(x)=sin x+,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的一个周期是π B.f(x)的最小值为2 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析:选D　f(x+π)=sin(x+π)+=-sin x-≠f(x),即π不是f(x)的一个周期,A错误;取x=-,则f=sin+=-2,即f(x)的最小值不是2,B错误;当x∈时,令sin x=t,t∈(0,1),函数y=t+在(0,1)上单调递减,而t=sin x在上单调递增,因此f(x)=sin x+在上单调递减,C错误;f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),即函数f(x)的图象关于直线x=对称,D正确. 8.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),现有如下四个命题: 甲:该函数的最小值为-; 乙:该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π; 丙:该函数的一个零点为; 丁:该函数图象可以由y=sin的图象平移得到. 如果有且只有一个假命题,那么下列说法正确的是 (　　) A.乙一定是假命题 B.φ的值可唯一确定 C.函数f(x)图象的一条对称轴为x= D.函数f(x)的图象可以由y=cos的图象伸缩变换得到 解析:选BCD　若甲命题正确,则A=.若乙命题正确,则最小正周期T=2π=,因为ω>0,则ω=1.若丙命题正确,则Asin=0,即+φ=kπ,k∈Z.若丁命题正确,函数图象可以由y=sin的图象平移得到,则A=,ω=2.故命题乙与命题丁矛盾.由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知,命题甲与命题丙均为真命题,命题乙与命题丁一真一假.若命题乙为真命题,则ω=1,由+φ=kπ,k∈Z,0<φ<,可得φ=,此时f(x)=sin;若命题丁为真命题,则ω=2,由+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又0<φ<,则不存在符合条件的φ,不合题意.综上,命题丁为假命题,命题甲、乙、丙均为真命题,所以f(x)=sin,故A错误,B正确.由x+=kπ+,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z.当k=0时,x=,故C正确.由y=cos=sin可知,把y=cos的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标保持不变,可以得到f(x)=sin的图象,故D正确.故选BCD. 9.(5分)写出一个以x=为对称轴的奇函数　　　　.  解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx. 答案:y=sin πx(答案不唯一) 10.(5分)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f=　　　　.  解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3. 答案:±3 11.(5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z, ∴ω=8k+,k∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 答案: 12.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x);(5分) (2)求f(x)的单调递增区间.(5分) 解:(1)依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称, ∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z.又|φ|≤,∴φ=.∴f(x)=sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 13.(10分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)单调递增区间;(5分) (2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.(5分) 解:(1)因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,所以T==π.由于ω<0,所以ω=-2.所以f(x)=2sin=-2sin,所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1]. 14.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),函数f(x)图象关于对称,且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4. (1)求ω,φ的值;(5分) (2)求函数f(x)的单调递增区间;(5分) (3)若方程f(x)-m=0在x∈有两个根,求m的取值范围.(5分) 解:(1)∵f(x)图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A=,∴+(2)2=16, ∴T=4即=4,∴ω=, 又f(x)图象关于对称, ∴-×+φ=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z, 又∵|φ|≤,∴φ=. (2)由(1)知f(x)=sin, 令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z解得-+4k≤x≤+4k,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (3)当x∈时, f(0)=,f=,作出x∈时f(x)的图象如图, 若方程f(x)-m=0在x∈有两个根,则≤m<. 15.(15分)已知函数f(x)=2sin+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(4分) (2)若f(x)=0,x∈,求x的值;(4分) (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.(7分) 解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴y=f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由f(x)=0,得2sin+1=0,∴sin=-. 又∵x∈,∴2x-∈, ∴2x-=-或2x-=-或2x-=, 解得x=0或x=-或x=. (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位, 可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1. 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象. 又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1. ∵x∈,∴sin x∈,∴2sin x+1∈(0,3]. ∴函数h(x)在上的值域为(0,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $