7.3.4 正切函数的性质与图象 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.3.4 正切函数的性质与图象 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数y=|tan 2x|是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析:选D　f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=. 2.函数y=tan(cos x)的值域是 (　　) A. B. C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对 解析:选C　∵-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上为增函数,∴tan(-1)≤tan x≤tan 1,即-tan 1≤tan x≤tan 1. 3.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是 (　　) A.x= B.x=- C.x= D.x= 解析:选D　当x=时,y=tan=tan=1;当x=-时,y=tan=1;当x=时,y=tan=-1;当x=时,y=tan不存在. 4.(2025·全国Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　令x-=k·(k∈Z),则x=+(k∈Z),即函数y=2tan图象的对称中心为,k∈Z,∴a=+(k∈Z).又∵a>0,∴a的最小值为,故选B. 5.(多选)下列关于函数y=tan的说法不正确的是 (　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 解析:选ACD　令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然不满足上述关系式,故A错误;易知该函数的最小正周期为π,故B正确;令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,任取k值不能得到x=,故C错误;正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D错误. 6.(多选)若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为,则以下说法错误的是 (　　) A.ω= B.点是f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在区间上单调递增 解析:选ACD　因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为,所以函数f(x)的最小正周期为T=.则ω==2.故A错误;因为f(x)=tan,由2x+=(k∈Z),可得x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故点是f(x)图象的一个对称中心.故B正确;函数f(x)的图象无对称轴,故C错误;当<x<时,由π<2x+<,故函数f(x)在区间上不具有单调性,故D错误. 7.(5分)若函数y=tan(a≠0)的最小正周期为,则a=　　　　.  解析:因为=,所以|a|=.所以a=±. 答案:± 8.(5分)函数y=tan x,x∈的值域为　　　　.  解析:由题知,根据函数图象性质可知,y=tan x在上单调递增,所以函数在上单调递增.因为tan=-,tan=1,所以该函数的值域为. 答案: 9.(5分)若函数tan x>1,则x的取值区间为　　　　　　　　.  解析:由tan x>1,得+kπ<x<+kπ(k∈Z),所以x的取值区间为(k∈Z). 答案:(k∈Z) 10.(5分)已知函数y=f(x),其中f(x)=atan 3x+4,若f(5)=6,则f(-5)=　　　　.  解析:设g(x)=atan 3x,则f(x)=g(x)+4,因为g(-x)=-atan 3x=-g(x),所以g(x)=atan 3x为奇函数.f(5)=g(5)+4=6,所以g(5)=2,则g(-5)=-2,所以f(-5)=g(-5)+4=2. 答案:2 11.(5分)直线y=与函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为π.若f(x)在(-m,m)(m∈N+)上单调递增,则m的最大值为　　　　.  解析:因为直线y=与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离为一个周期,∴=π.∴ω=.∴f(x)=tan.由kπ-<x+<kπ+(k∈Z),得kπ-<x<kπ+(k∈Z),∴f(x)在上单调递增.故(-m,m)⊆,解得0<m≤.又m∈N+,∴m的最大值为1. 答案:1 12.(10分)观察正切曲线,写出满足下列条件的x值的范围: (1)tan x>0;(4分)(2)tan x=0;(2分) (3)tan x<0.(4分) 解:作正切函数y=tan x的图象如图所示. 观察图象可知, (1)当kπ<x<+kπ,k∈Z时,图象位于x轴上方,即tan x>0,所以tan x>0的解集为. (2)x=kπ,k∈Z为函数图象的零点,即tan x=0,所以tan x=0的解集为. (3)当-+kπ<x<kπ,k∈Z时,图象位于x轴下方,即tan x<0,所以tan x<0的解集为 . 13.(10分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的单调递减区间;(5分) (2)试比较f(π)与f的大小.(5分) 解:(1)f(x)=3tan=-3tan. 由kπ-<-<kπ+,k∈Z,得4kπ-<x<4kπ+,k∈Z. 因为y=3tan在,k∈Z上单调递增, 所以f(x)=-3tan在,k∈Z上单调递减. 故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. (2)由题意得f(π)=3tan=3tan=-3tan, f=3tan=3tan=-3tan. 因为0<<<,且y=tan x在上单调递增, 所以tan<tan,所以f(π)>f. 14.(15分)已知函数f(x)=tan. (1)求f(x)的定义域;(5分) (2)设β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值.(10分) 解:(1)由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z. 所以函数f(x)的定义域是. (2)依题意,得tan=2cos,所以=2sin,整理得sin·=0, 所以sin=0或cos=.因为β∈(0,π),所以β+∈.由sin=0,得β+=π,即β=; 由cos=,得β+=,即β=.所以β=或β=. 15.(15分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和,且过点(0,-3). (1)求f(x)的解析式;(9分) (2)求满足f(x)≥ 的x的取值范围.(6分) 解:(1)由题意可得f(x)的周期为T=-==,因为ω>0,所以ω=, 得f(x)=Atan,它的图象过点, 所以tan=0,即tan=0, 所以+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,于是f(x)=Atan.又因为它的图象过点(0,-3),所以Atan=-3,得A=3.所以f(x)=3tan. (2)因为3tan≥, 所以tan≥,得kπ+≤x-<kπ+,k∈Z,解得+≤x<+,k∈Z, 所以满足f(x)≥的x的取值范围是,k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $