7.3.3 余弦函数的性质与图象 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

7.3.3 余弦函数的性质与图象 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是 (　　) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2 解析:选D　易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2. 2.下列函数中,以为周期且在区间上单调递增的是 (　　) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos |x| D.f(x)=sin|x| 解析:选A　作出函数f(x)=|cos 2x|的图象如图所示. 由图象可知f(x)=|cos 2x|的周期为,在区间上单调递增.同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为,在区间上单调递减,f(x)=cos |x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数,故选A. 3.函数y=cos 2x的值域是 (　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C. D. 解析:选C　因为≤x≤,所以≤2x≤. 所以-≤cos 2x≤.所以函数y=cos 2x的值域是. 4.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:选D　∵T==≤2,∴k≥4π,又k∈Z,∴正整数k的最小值是13. 5.(多选)若函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则 (　　) A.当x∈时,f(x)<0 B.f(0)=1 C.f=0 D.所围图形的面积为2π 解析:选AC　作出函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 由图可知,当x∈时,f(x)<0,故A正确; f(0)=2cos 0=2,故B错误; f=2cos=0,故C正确; 利用图象的对称性,知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,因为OA=2,OC=2π, 所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π,故D错误.故选AC. 6.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是 (　　) A.-1 B.1 C.- D.-5 解析:选C　由题意,得y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-.∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=时,函数有最大值-. 7.函数y=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示.A,B分别为最高点、最低点,且AB=4,则该函数图象的一个对称中心的坐标为 (　　) A.(4,0) B. C. D.(2,0) 解析:选A　由y=2cos(ωx+φ)为奇函数知φ=kπ+,k∈Z.∵0<φ<π,∴φ=,则y=2cos=-2sin ωx.由AB=4知=4,∴T=8=,∴ω=,∴y=-2sin.令x=kπ,k∈Z,得x=4k,k∈Z,当k=1时,x=4,故函数图象的一个对称中心为点(4,0). 8.(5分)若函数y=2cos的最小正周期为4π,则ω=　　　　.  解析:∵4π=,∴ω=±. 答案:± 9.(5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为　　　　.  解析:由题意可知,当3x+=kπ+(k∈Z)时, f(x)=0.∵x∈[0,π],∴3x+∈, ∴当3x+取值为,,时,f(x)=0, 即函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为3. 答案:3 10.(5分)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为　　　　.  解析:因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z),所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈,所以cos β∈,故cos β的最大值为-. 答案:- 11.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  解析:函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根.因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ].令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 答案:[2,3) 12.(10分)已知函数y=cos x+|cos x|. (1)画出函数的简图;(5分) (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;(2分) (3)指出这个函数的单调区间.(3分) 解:(1)y=cos x+|cos x|=函数图象如图所示. (2)由图象知函数是周期函数,且它的周期是2π. (3)由图象知函数的单调增区间为(k∈Z),单调减区间为(k∈Z). 13.(10分)已知函数y=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-. (1)求a,b的值;(5分) (2)求函数g(x)=-4asin的最小值并求出对应x的集合.(5分) 解:(1)因为cos∈[-1,1], 又b>0,所以解得a=,b=1. (2)由(1)知g(x)=-2sin,因为sin∈[-1,1], 所以g(x)∈[-2,2],所以g(x)的最小值为-2,对应x的集合为. 14.(10分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1,最小正周期为π,且f(x)的图象关于直线x=对称. (1)求f(x)的解析式;(5分) (2)将曲线y=f(x)向左平移个单位,得到曲线y=g(x),求曲线y=g(x)的单调递增区间.(5分) 解:(1)依题意可得解得ω=2,A=1,则f(x)=cos(2x+φ)+2. 因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=kπ(k∈Z). 又0<φ<π,所以φ=.故f(x)=cos+2. (2)依题意可得g(x)=f=cos+2=-sin 2x+2.令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).故曲线y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 15.(15分)将函数y=cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标变为原来的2倍.得到函数f(x)的图象. (1)求f(x)的解析式;(3分) (2)若y=f(x+a)是奇函数,求a的值;(5分) (3)求f(x)在上的最小值与最大值.(7分) 解:(1)由题意可得f(x)=2cos=2cos. (2)f(x+a)=2cos, 因为y=f(x+a)是奇函数, 所以2a-=+kπ(k∈Z), 解得a=+(k∈Z). (3)因为x∈,所以2x-∈, 当2x-=,即x=时,f(x)取得最小值,且最小值为2cos=-, 当2x-=0,即x=时,f(x)取得最大值,且最大值为2cos 0=2. 学科网（北京）股份有限公司 $