8.1.3 向量数量积的坐标运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

8.1.3 向量数量积的坐标运算 [课时跟踪检测] 1.已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥b,则|b|= (　　) A. B.20 C.2 D. 解析:选D　因为a⊥b,所以a·b=m-2=0,解得m=2.所以b=(2,-1).所以|b|==,故选D. 2.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为1,则|a-b|= (　　) A.2 B. C.2 D.3 解析:选B　由题图可知,a=(3,1),b=(1,2),∴a-b=(2,-1),|a-b|==,故选B. 3.平面向量a与b相互垂直,已知a=(6,-8),|b|=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角,则b= (　　) A.(-3,-4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-4,-3) 解析:选D　设b=(x,y),∵a⊥b,∴a·b=0.∴6x-8y=0　①,|b|==　②. ∵b与向量(1,0)夹角为钝角,∴x<0　③. 由①②③解得∴b=(-4,-3),故选D. 4.(多选)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是 (　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos <a,b>= D.向量a+b在a上的投影为2a 解析:选BD　因为向量a=(1,0),b=(1,2),所以a+b=(1+1,0+2)=(2,2).所以|a+b|==4,A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2,B正确.由向量的夹角公式,可得cos <a,b>==,C错误.向量a+b在a上的投影为·=×a=2a,D正确.故选BD. 5.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 解析:选C　a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±,故B、D错误. 6.已知a=(1,2),b为单位向量,若a·b+|a||b|≤0,则b= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意可得a·b+|a||b|=|a||b|·cos <a,b>+|a||b|=|a||b|(cos <a,b>+1)≤0.因为|a|,|b|≠0,所以cos <a,b>+1≤0,即cos <a,b>≤-1,可得cos <a,b>=-1.又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π,即a,b反向,可得b=-=-a=-a=.故选D. 7.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设点D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·= (　　) A.16 B.12 C.8 D.-4 解析:选A　由题意以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),设E(0,b),则=(-4,b),=(2,3),=(0,6). 由题意可知·=0,即(-4,b)·(2,3)=0,即-8+3b=0,解得b=. 所以E,=,所以·=16. 8.(5分)已知向量a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=　　　　.  解析:∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4. 答案:4 9.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  解析:∵a-b=(1,1-2x),a⊥(a-b),∴由a·(a-b)=0,得x+1-2x=0,解得x=1,故|a|=. 答案: 10.(5分)在边长为12的正三角形ABC中,E为BC的中点,F在线段AC上且AF=FC.若AE与BF交于M,则·=　　　　.  解析:如图所示,以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,6),B(-6,0),AF=FC,F(2,4),设M(0,m),=λ=λ(8,4), 即(6,m)=λ(8,4),m=3,·=(0,3)·(-6,-3)=-27. 答案:-27 11.(5分)已知k∈R,向量a=(1,1+k),b=(k,2).若向量2a-b与b平行,则k的值为　　　　;若向量2a-b与b的夹角为钝角,则 k的取值范围为　　　　.  解析:由向量a=(1,1+k),b=(k,2),所以2a-b=(2-k,2k).又2a-b与b平行,所以2(2-k)-2k2=0,解得k=-2或k=1. 若向量2a-b与b的夹角为钝角, 则(2-k)k+4k<0,解得k<0或k>6. 由(1)知,当k=-2时,2a-b与b平行, 所以k的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(6,+∞). 答案:-2或1　(-∞,-2)∪(-2,0)∪(6,+∞) 12.(10分)已知a=(1,2),b=(1,-1). (1)若θ为2a+b与a-b的夹角,求θ的值;(5分) (2)若2a+b与ka-b垂直,求k的值.(5分) 解:(1)因为a=(1,2),b=(1,-1),所以2a+b=(3,3),a-b=(0,3). 所以cos θ===.因为θ∈[0,π],所以θ=. (2)ka-b=(k-1,2k+1),依题意(3,3)·(k-1,2k+1)=0,所以3k-3+6k+3=0.所以k=0. 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(5分) (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.(5分) 解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1), 则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2,4. (2)由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t),由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0.从而5t=-11,所以t=-. 14.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=1,P是线段AD(包括端点)上的一个动点. (1)当AD=时,求·的值;(3分) (2)在(1)的条件下,若·=,求;(6分) (3)求|2+|的最小值.(6分) 解:如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意得,A(0,0),B(2,0),∴=(2,0). (1)∵AD=,∴C(1,). ∴=(1,).∴·=1×2+×0=2. (2)设=t,则点P的坐标为(0,t)(0≤t≤). ∴=(2,-t),=(1,-t).∴·=2×1+(-t)×(-t)=t2-t+2=+=(0≤t≤),解得t=,即=. (3)设C(1,c)(c>0),P(0,m)(0≤m≤c),∴=(2,-m),=(1,c-m).∴2+=2(2,-m)+(1,c-m)=(5,c-3m).∴|2+|=≥5,当且仅当m=时取等号.因此|2+|的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $