8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 A.V2 B.2 C.0 D.1 1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下 7.已知向量a=(1,2),b1=2V5,a∥b, 列结论中正确的是() 且a与b方向相同，那么b=一，a-b= A.lal=lbl B.a.b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b 8.已知A(-3,0),B(0,V3),0为 2.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若 坐标原点，C在第二象限，且∠AOC=30°， b⊥(b-4a),则x等于() OC=λOA+0B,则实数入的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 9.如图，已知0为坐标原点，向量OA =(3cosx,3sinx),OB=(3cosx,sinx),OC= 3已知向量所=分，. BC= (V3,0),xel0,: ,.则/Anc等于() (1)求证：(0A-0B)10C; A.30° B.45° (2)若△ABC是等腰三角形，求x的值， C.60° D.120 4.已知向量a,b的夹角为受，且a= (2,-1),b=2,则1a+2b1等于（) A.2V3 B.3 第9题图 C.V21 D.V41 5.已知P(0,5),P(2,-1),P(-1,4), 则向量PP在向量PP上的投影的数量是 ( A.4 B.2V10 C.2V2 D.V10 5 6.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=V2，,BC=2,E为BC的 中点，点F在CD上.若AB·AF= V2,则AE·BF的值为() 第6题图 48)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 10.已知平面向量a=(3,4),b=(9, 14.已知AB⊥AC,AB1=1,A= x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c; 若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP= (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与n AB 4AC ,则PBPC的最大值为 的夹角的大小. ABI CI 15.已知向量0A与0B的夹角为0,10A'1= 2,10B1=1,0p=t0A,00=(1-t)0B, P四在1=，时取得最小值，则当0<<时， 角0的取值范围为( A.0,号 B. c受， D.0,2 提升练习 16.平面内有向量0A=(1,7),0B= (5,1),OP=(2,1),点Q为直线OP上的 11.已知点A(1,-2),若向量AB与a= 一个动点 (2,3)同向，且4B=2V13,则点B的坐 (1)当QA·QB取最小值时，求00的 标为() 坐标； A.(5,4) B.(-3,-8) (2)当点Q满足(1)的条件和结论时， C.(-5,-4) D.(3,8) 求cos∠AQB的值. 12.已知a=(1,0),b=(0,1),若向量 ka+b与a+2b的夹角为锐角，则实数k的取 值范围为() A.(-2,+∞) B-22 c.-2,2u3,+∞ D.(-∞，2) 13.已知向量m=(入+2,1)，n=(入+ 1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n 的夹角的余弦值为 ,m+n在n上的 投影的数量为 练(493 2 选D. 7.-V【解析】V3e4eV3I-2.ehe V1+2,且(V3e,+e2)·(e,+e2)=V3+,cos60°= 2欲分得学 3 8.4a【解析】(2a+b:(2a-3b)=-a+ab-3b=ar+ 号45-3b-16+V2b-3h2=12.解得b=V7或 h=2y(含去)，故b在a上的投影为bco45”·合 3 V2xY2x号=4 9.解：(1)lal=l,b1=2,c=a+b,且c⊥a,ca= (a+b)·a=a2+a·b=0,即1+1×2xcos(a,b)=0,即cos(a,b) -3a,be0,m,a,b= (2)13a+bl=V(3a+b)2=V9a2+6a·b+b2=V9+6x(-1)+22= V7. 10.证明：设AB-a,AD-b,则DC=a,且a=2b1, AC-AD+DC-b+a.BC-BAD+DC--a+b+a=-at b.AB=(atb)(-2ab)-bx4-0. AC⊥BC,AC⊥BC. 提升练习 11.CD【解析】分析知lal=l,b1=2,a与b的夹角是 120°，故B错误；(a+b)2=laP+2ab+bP=3,∴la+bl=V3, 故A错误；(4a+b)b=4ab+b2=4×1×2×cos120°+4=0，∴ (4a+b)⊥b,故C正确；ab=1×2×cos120°=-1，故D正确. 故选CD. 12.B【解析】设BC的中点为M,则化简(OB-OC) (0B+0C-20A)=0,得到CB.(AB+AC)=2CB.AM=0,即 CB.AM=0,CB⊥AM,AM是△ABC的边BC上的中线 并且也是高，∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形.故 选B. 13.号【解析】E为CD的中点，BE=BC+CE=AD -DC=AD-号B,AC=AD+.AC配=l,AC, BE=(D+AE):A币-)AB)=A可产)AB产4)ABAd=1, 即1-2AB产+s60=1,-2AB产+4AB=0,解 参考答案。 得B=号(0舍去)： 14.3-10【解析】10A°1=0B=0C1,.点0为 △ABC的外心.设∠OAB=0,可得∠OBA=0,.Ad在AB 上的投影的数量为Ad1cos0,Bd在B上的投影的数量为 IBG1cos0.由题意可知IAd1cos0+IBO1cos0=lAB1=6.又 1OA1=1OB1=IOC1,.Ad1cos0=3,即Ad在AB上的投影的数 量为3..A.AB=AdAB1cos0=31A1=18,同理得Ad. AC=8,:A0.BC=AO.(AC-AB)=A0.AC-AO.AB=8- 18=-10. 15.B【解析】设a+b与c的夹角为6，la+bl=V(a+b)7 =V1a+2a·b+bP=V1+2+2=V5.由(c-a)·(c-b)=lcP- (a+b)c+ab=lcP-V5 lelcose+l=0.当1cl=0时，原方程可化 为1=0，不成立，lcl≠0.又由cos0=lcL≤1，有cP+ V5 lcl 1≤V5lcl,lcP-V5lc+1≤0，解得V5-⊥≤icl≤ 2 Y)+L,故lcl的最大值为Y;+1.故选B. 2 16.解：(1)，(2a-3b)·(2a+b)=61,∴.41aP-4 lallb1· coc0-3bP=61,解得co=子9e[0,m],0= 3 (2)b1c,bc=0.c=ta+(1-t)b,b[ta+(1-t)b]= 0.即ab4(1-)bP-0.化简得151=9，解得1=号，c= =6V3 5· 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 1.D2.D3.A4.C 5.C【解析】PE=(2,-6),PE=(-1,-1),PE· P吧-4，Pgi=V2,icos0-PE吗.，42V2 PP1/2 (0为PP与PB的夹角).故选C. 6.A【解析】建立如图所示的平面直 F 角坐标系，可得A(0,0),B(1V2,0): E(V2,1).设Fx,2),则AB=(V2, 0)AE=(V2,1),AF=(x,2).AB ,AF=V2x=V2,解得x=1,.F(1,A B 2)..BF=(1-V2,2),AE·BF=V2 第6题答图 ×(1-V2)+1×2=V2.故选A. 7.(2,4)V5【解析】向量a=(1,2),且a与 81 N 高中数学必修第三册人教B版 b方向相同，.可设b=(a,2a)(a>0).又.b=2V5,. V+4=2V5,解得a=2(负值舍去)，=(2,4).a- b=(-1,-2),.la-bl=V5. 8.1【解析】由题意知0=(-3,0)，0B=(0,V3), 则0C=(-3A,V3),.0.0C=(-3,0)(-3A,V3)= mocs mn 又C在第二象限，入=1. 9.(1)证明：0A-0B=(0,2sinx),.(0A-0B)-0C =0xV3+2 sinxx0=0,∴.(0A-0B)10C. (2)解：：BA=0A-0B=(0,2sinx),BC=0C-0B= a,m,wc流 0,LABCE(牙，T,若△ABC是等腰三角形，则 AB=BC..A B=2sinx,BC=V(3cosx-V3)+sin',..(2sinx)= (3cosx-V3)2+sinx,整理得2cosx-V3cosx=0,解得 cos-0或cox=V5.xe0,号，o0sr=V5,解得 2 10.解：(1)a/b,a=(3,4),b=(9,x),4= 号.2.即b=(9.12a1c,a0=3x4+40. y=-3,即c=(4,-3). (2).7n=2a-b=(-3,-4),n=a+c=(7,1),.∴.lml=Vm2 =V(-3)2+(-4=5,nl=Vm=V7+12=5V2,mn=-3× 7-4x=-25.om.n=h=-Y.又：m.me 2 [0,,m,n)=平，即m与n的夹角为 提升练习 11.A【解析】设AB=(2入，3入)（入>0），则1AB= V42+92=2V13,13M2=13×22,∴λ=2（负值舍去)， AB=(4,6),.0B=0A+AB=(1,-2)+(4,6)=(5,4)(0 为坐标原点)，.点B的坐标为(5,4).故选A. 12.C【解析】a=(1,0),b=(0,1),∴ha+b=(k,1), a+2b=(1,2).向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，∴.(ka+ b)·(a+2b)=(k,1)·(1,2)=k+2>0,且2k≠1，解得k>-2 且≠号实数的取值范围为-2.U(分+ 故选C. 13.号95【解析】由题意知向量mn=(21+ (82 N 3,3),m-n=(1,-1),(m+n)1(m-n),2入+3-3=0，即 A-(2.1)n(1 2).cos(m (3,3),m+n在n上的投影的数量为m+nlcos(m+n,n)= (m+n)n=9V5 Inl 5 14.13【解析】如图，以点A为原点，AB,AC所在直 线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), ,c0.0,.o品0， 4元-A+4=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐 ABI IACI 标为(1,4，PB=(-l,4,元=(-1,4)，Pm 元1-}4+16=-(4+17≤-4+17=13当且仅当}=4， 即=)时取等号，P网P心的最大值为13. AB 第14题答图 15.C【解析】0A.0B=2cos0,P0=0d-0p=(1-t)0B -t0A,.1P叹P=PQ2=(5+4cos0)2-(2+4cos0)t+1,i= .则由0<行得名a0.小受 牙故选C 16.解：(1)设00=(x,y),点Q在直线0P上，， 向量00与0p共线.又0p=(2,1),x-2y=0,∴x=2y, 00=(2y,y.又QA=0A-00=(1-2y,7-y),QB=0B- 00=(5-2y,1-y),QA.QB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)= 5y2-20y+12=5(y-2)2-8.当y=2时，QA·QB有最小值-8，此 时00=(4,2). (2)由(1)知0A=(-3,5),QB=(1,-1),QA.QB =-8,IQ1=V34,1QB=V2,cos∠AQB=☑：g IQA'HOBI -8 V34xV2 17 “阶段性练习卷（六） 1.C【解析】由向量数量积的定义知，ab=al-lblcos135°，