8.1.2 向量数量积的运算律 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

8.1.2 向量数量积的运算律 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知向量a,b为单位向量,且a⊥b,则b·(4a-3b)= (　　) A.-3 B.3 C.-5 D.5 解析:选A　由题意可得,|a|=1,|b|=1,a·b=0,则b·(4a-3b)=4a·b-3b2=-3b2=-3,故选A. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. 3.在△ABC中,(+)·=0,则△ABC一定是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:选B　由已知得,(+)·(-)=0,-=0,∴||=||. 4.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,并且当λ=-4时,|a+λb|取得最小值,则sin<a,b>= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意,得a·b=3cos <a,b>,|a+λb|2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2=λ2+6λcos <a,b>+18. 当λ=-3cos <a,b>时,|a+λb|2取得最小值,即|a+λb|取得最小值,故-3cos <a,b>=-4,则有cos <a,b>=.又<a,b>∈,所以sin<a,b>==. 6.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||= (　　) A. B.2 C.1 D.2 解析:选B　根据题意可得=+,=-, ∵·=2,即·(+)=+·=2,∴·=-2, ||2=(-)2=-2·+=12,即||=2,故选B. 7.(多选)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则下列说法正确的是 (　　) A.若a·(b·c)=0,则b⊥c B.若|a|=|b|,则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c,则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 解析:选AB　因为a,b,c均是非零向量,若a·(b·c)=0,则b·c=0,所以b⊥c,故A正确;若|a|=|b|,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确;若a·c=b·c,则(a-b)·c=a·c-b·c=0⇒(a-b)⊥c,故C错误;[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c,故D错误. 8.(5分)已知单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=　　　　.  解析:因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5. 答案:5 9.(5分)在△ABC中,记=m,=n,则·(+)=　　　　.  解析:因为=-= n-m,所以·(+)=(n-m)·(n+m)= n2-m2. 答案:n2-m2 10.(5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,b·(2a-b)=-18,则a与b的夹角等于　　　　.  解析:由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18,得a·b=-3,则cos <a,b>===-.∵0°≤<a,b>≤180°,所以a与b的夹角等于150°. 答案:150° 11.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则·+·=　　　　.  解析:易知四边形EFGH为平行四边形,连接HF(图略),取HF的中点为O,则·=·=(-)·(+)=-=1-=,·=·=-=1-=,因此·+·=. 答案: 12.(10分 )已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角. 解:设a与b的夹角为θ, ∵非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,∴(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0,∴7|a|2-15|b|2+16a·b=0,7|a|2+8|b|2-30a·b=0. ∴|b|2=2a·b,|a|2=2a·b,∴|b||a|=2a·b, ∴cos θ==.又θ∈[0,π], ∴θ=.即a与b的夹角为. 13.(10分)如图,在▱ABCD中,=a,=b. (1)当a,b满足什么条件时,AC与BD互相垂直?(5分) (2)|a+b|与|a-b|有可能相等吗?为什么?(5分) 解:(1)由题意得=+=a+b,=-=a-b. 若AC⊥BD,则(a+b)⊥(a-b). 所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,得|a|=|b|. 因此当|a|=|b|时,AC⊥BD. (2)有可能.理由如下: 因为|a+b|==, |a-b|==, 若|a+b|=|a-b|,则a·b=0. 所以当a⊥b时,|a+b|=|a-b|. 14.(10分)已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb. (1)当|u|取最小值时,求实数t的值.(5分) (2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?(5分) 解:(1)|u|2=|a+tb|2=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2 =|b|2+|a|2-. ∵b是非零向量,∴|b|≠0, ∴当t=-时,|u|=|a+tb|的值最小. (2)∵b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0, ∴b⊥(a+tb),即b⊥u. 15.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2. (1)求|a|;(7分) (2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.(8分) 解:(1)由题意知,e1·e2=1×1×cos=. 因为a=3e1+4e2,所以|a|2=(3e1+4e2)2=9+24e1·e2+16=9+24×+16=37,故|a|=. (2)因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2, 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0,解得λ=-. 学科网（北京）股份有限公司 $