8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.1.2向量数量积的运算律 6.如图，在△ABC中， 效果评价 若AB=AC=3,∠BAC=60°， 1.下列命题正确的是( DC=2BD,则AD.BC等于 A.若ab=ac,则b=c ) 第6题图 B.若la+bl=la-b1,则ab=0 B.-9 2 C.若a,b为不共线的向量，则(ab)2= a2.b2 c D-含 D.若a与b是单位向量，则ab=1 7.已知e1,e2是互相垂直的单位向量， 2.已知a,b方向相同，且la=2,bl=4, 若V3e1+e2与e1+入e2的夹角为60°，则实数 则12a+3b1等于() 入的值是 8.已知向量a,b的夹角为45°，且1al= A.16 B.256 C.8 D.64 4,(2a-b(2a-3b)=12,则b在a上的投 3.已知la=4,b1=2,a与b的夹角为 影为 120°，则(a+b)·(2a-b)等于() 9.已知向量a,b,c满足la=1,b1=2, A.32 B.24 c=a+b且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角： C.26 D.8 (2)求13a+b1. 4.已知向量a,b满足lal=1,la+2b=2, 且(b-2a)⊥b,则b1等于() A员 B.V2 2 C.V3 D.1 2 5.已知lal=3,b1=2,且a,b的夹角为 60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么m的值 为（) A器 B. 2 42 c 0.23 (46)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥ 14.已知△ABC中，AB=6,AC=4,0为 CD,且AB=2AD=2DC.证明：AC⊥BC. △ABC所在平面内一点，满足IOA1=IOB1= 1OCL,则AO在AB上的投影的数量为 A0'.BC= 第10题图 15.已知向量a,b,c满足1a=1,b1= V2,ab=1,(c-a)⊥(c-b),则向量c的 模的最大值为（) A.V2 B.V5+1 2 C.V3 D.V5+2 3 16.已知a=4,b=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角0： (2)若c=a+(1-t)b,且b⊥c,求t及lcl. 提升练习 1L.(多选题)已知正三角形ABC的边 长为2，设AB=2a,BC=b,则下列结论正确 的有（) A.la+bl=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a.b=-1 12.0为平面上的定点，A,B,C是平 面上不共线的三点，若(OB-0C)·(0B+ 0C-20A)=0,则△ABC是() A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 13.在平行四边形ABCD中，AD=1, ∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1, 则AB的长为 练(47N 高中数学必修第三册人教B版 =60°，(AB,BD)=(AB,BC)=120°，.AB.CD=A BICD: cos60°=3x2×7-3,AR.Bm-MEBd1cos120=3x1×2 9.解：ABi=5,BC1=4,AC=3,△ABC为直角三 角形，且∠G-0,0s1=治号co=%-号 AB=5· (1)AB.BC=IABI-IBC'lcos(m-B)=5x4x(-cosB)=20x (←号=-16. (2)AC在AB上的投影的数量为AClos(AC,AE)=3x c0s4=3x3=9 5-51 (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，AB在BC上 的银步的医型为哥单一 10.解：(1)b=3,.b=V3.当a∥b时，有两种 情况： ①当a与b的夹角为0°时，ab=labcos0(°=2×V3×1= 2V3: ②当a与b的夹角为180°时，a·b=allb lcos180°=2× V3x(-1)=-2V3.ab=2V3或ab=-2V3. (2)a:b-lailbeos0-2x2V2xco-4. 0e[0,,=军 (3)当a与b的夹角为150°时，ab=lallblcos150°=2×bl× Y=6,2V3. 提升练习 11.D【解析】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，∠BDC=30°，(BD,CD)=30.又：菱形的边长为a, ..BD=V3 a...BD'.CD=IBDIICD'lcos(BD',CD)=V3 axax cos30°=号d.故选D. 609 第11题答图 第12题答图 12.CD【解析】e1在e2上的投影是一个向量，故A不 正确.e1e=le1 llecos(e1,e,)=cos0,故B不正确.e=leP=l, 80 e=e2-1,故C正确.如图所示，设AB-e1,AD=e2,作平行 四边形ABCD,则平行四边形ABCD为菱形，则ACe1te2, DBe1-e.AC⊥DB,.(ete)⊥(e-e),故D正确.故选 CD. 3.C【解析】cos(a,b)=i=BN 是-子又a,e0. 2T 3 (a,b)=2T.如图，0A=a,0B=b,过B'0aA 3 点B作BB'⊥OA,垂足为B',则b在 第13题答图 a上的投影为0丽.b=12,0=12xc0s于-6.又a= 2,.0B=-3a 14.90°【解析】由题意可画出图形， 如图所示，在△OAB中，∠OAB=60°， Ib=2Ial,.∠ABO=30°，OA⊥OB,即向量 a与c的夹角为90°. 15.[号，π【解析】4=laP-4a-b=laP O60≥A -4 albos6(0为向量a与b的夹角)，若第14题答图 方程有实根，则△≥0，即1a-4 allblcos0≥0.又1al=2Ib1, 4=4bP-8b1e0s0≥0，c0s0≤7，又：0≤0≤，写≤ 2 0≤T. 16.解：如图，过点E作EE⊥ AB,垂足为E',过点C作CC'⊥ AB,垂足为C',则AE在AB上的投 影为AE,AE在AB上的投影的数 B 量为4E1.由向量数量积的几何意义 C E' 知AE.AB=AE.AB1=4AE.点E 第16题答图 在腰BC上运动，.点E在线段CB上运动，IAC1 ≤AE1≤AB1,即2≤AE1≤4,8≤4AE≤16，AE, AB的取值范围是[8,16]. 8.1.2向量数量积的运算律 效果评价 1.B2.A3.B4.B 5.C【解析】由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2+ (5m-3)a·b-5b2-0,3m×32+(5m-3)×3×2×cos60°-5×22-0，解 得m多故选C 6.D【解析】设AB=a,AC=b,则1al=b1=3,cos(a,b)= 分ab=3x3x号号Cb-a,而-+丽- }BC=AB+}C-AB)=子a+}b,A0BC(号a+号片 选D. 7.-Y5【解析】：V3ete上V3+-2,le:the VI+2，且(V3e1+e2)(e+e)=V3+d,cos60°= 欲分得如 8.子a【解折】(2a+b(2a-3b)=a+之a:b-3b2=arP+ 号o450-3bP=16+V2b-31bF=12,解得b=V2或 b=-2〔含去).故b在a上的投影为bo45°，日 3 vx竖x号4a 9.解：(1)lal=l,b1=2,c=a+b,且c⊥a,∴.ca= (a+b)a=r2+ab=0,即1+1×2xcos(a,b)=0,即cos(a,b) =-3a,b)e[0,,a,b= (2)13a+b=V(3a+b)2=V9a2+6a·b+b2=V9+6x(-1)+22= V7. 10.证明：设AE-a,AD=b,则DC=a,且a=20l, C a.Daa-a b.ACBC=atb)(-ab)x0. AC⊥BC,AC⊥BC 提升练习 11.CD【解析】分析知la=l,b=2,a与b的夹角是 120°，故B错误；.(a+b)2=la+2a·b+bP=3,.a+bl=V3, 故A错误；(4a+b)b=4ab+b2=4×1×2×cos120°+4=0， (4a+b)1b,故C正确；ab=1×2×cos120°=-1，故D正确. 故选CD. 12.B【解析】设BC的中点为M,则化简(OB-OC): (0B+0C-20A)=0,得到CB·(AB+AC)=2CB,AM=0,即 CB·AM=O,.CB⊥AM,AM是△ABC的边BC上的中线 并且也是高，.△ABC是以BC为底边的等腰三角形.故 选B. 13.号【解析】E为CD的中点，B配=BC+CE=AD DC-AD-AB.AC-AD+AB.AC.BE-1,.Ad. BE-(ADAB).(AD-AB)-AD-ABABAD=1. 即1-2AB产+2 os60=1,-2AB2+4AEi=0,解 参考答案。 得AB=1(AB=0舍去). 14.3-10【解析】10A=0B=0C1,.点0为 △ABC的外心.设∠OAB=0,可得∠OBA=0,:.A可在AB 上的投影的数量为A可1cos0,BO在BA上的投影的数量为 IBO1cos0.由题意可知1Ad1cos0+1BO1cos0=lAB1=6.又 IOA1=lOB1=lOC1,.A可icos0=3,即Ad在AB上的投影的数 量为3.：.AO.AB=A0llABlcos0=31AB=18,同理得Ad. AC=8,.A0.BC=AO.(AC-AB)=AO.AC-AO.AB=8- 18=-10. 15.B【解析】设a+b与c的夹角为0，la+bl=V(a+b了 VlaP+2a.b+lb=V1+2+2=V5.(c-a).(c-b)=lcP- (a+b)c+ab=lcP-V了lelcose0+l=0.当lcl=0时，原方程可化 为10，不成立，lcl≠0.又由cos0=lc+1≤1，有1cf+ V5 lcl 1≤V5lcl,lcP-V51c+l≤0，解得V5-l≤cl≤ 2 Y+1,故c1的最大值为V1故选B. 2 16.解：(1)：(2a-3b)·(2a+b)=61,∴.41aP-41alb cos0-3-61,解得c0分0e[0,l,2g 3 (2).b⊥c,.bc=0..c=0+(1-t)b,.b.[ta+(1-t)b]= 0,即a-h+1-)bP=0.化简得15=9，解得1=号，c上 |房a*号V房0+号-V会r号r号ab-V =6V3 5 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 1.D2.D3.A4.C 5.C【解析】PP=(2,-6),PP=(-1,-1),PP, PP=4.PPE-V2,:PPkcos0-PPPP=-4--2V2 PPI V2 (0为PD与PP的夹角).故选C 6.A【解析】建立如图所示的平面直 角坐标系，可得A(0,0),B(V2,0), E(V2,1).设F(x,2),则AB=(V2, 0),AE=(V2,1),AF=(x,2).AB ·AF=V2x=V2,解得x=1,∴F(1, A B x 2).BF=(1-V2,2),AE,B=V2第6题答图 ×(1-/2)+1×2=V2.故选A. 7.(2,4)V5【解析】：向量a=(1,2),且a与 81