8.1.1 向量数量积的概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

8.1.1　向量数量积的概念 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于 (　　) A.-3 B.-6 C.6 D.2 解析:选B　因为|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,所以a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6.故选B. 2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b上的投影的数量为 (　　) A.-2 B. C.-2 D.2 解析:选A　因为|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,所以a在b上的投影的数量为|a|cos <a,b>=4×cos 120°=-2. 3.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时,力F做的功为 (　　) A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 解析:选B　由题意,根据向量的数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10cos 60°=50(J),故选B. 4.在等腰Rt△ABC中,若C=90°,AC=,则·的值等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:选B　·=||||cos B=2××cos 45°=2. 5.已知|a|=3,|b|=6,当a∥b时,a·b= (　　) A.18 B.-18 C.±18 D.0 解析:选C　若a与b同向,则它们的夹角为0°,所以a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18;若a与b反向,则它们的夹角为180°,所以a·b=|a||b|·cos 180°=3×6×(-1)=-18. 6.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·= (　　) A.a2 B.-a2 C.a2 D.-a2 解析:选D　由题意可知,在△BCD中,BC=DC=a,∠BCD=120°,∠CBD=30°,BD=2×a=a.又<,>=150°,所以·=||·||cos 150°=-a2. 7.已知|a|=,b是非零向量,e是与向量b方向相同的单位向量,向量a在向量b上的投影为-e,则a与b的夹角为 (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析:选D　设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影为e,则e=-e,所以=-1,即cos θ=-1,所以cos θ=-.因为0°≤θ≤180°,所以θ=135°. 8.在△ABC中,若·>0,则角B的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为·=-·>0,所以·=||||cos B<0,即cos B<0.又因为角B为△ABC的内角,所以<B<π. 9.(多选)如图所示,在边长为1的正六边形ABCDEF中,下列说法正确的是 (　　) A.-= B.++=0 C.·=1 D.·=· 解析:选BC　由正六边形性质可知,正六边形ABCDEF对边平行且相等,对角线交于O,将正六边形分成六个全等正三角形.-=-=,A错误;++=++++++=++=++=0,B正确;·=2×1×cos 60°=1,C正确;·=·=1×1×cos 60°=,·=1×1×cos 120°=-,·≠·,D错误. 10.(多选)设|a|=1,|b|=2,b在a的投影为c,则 (　　) A.a·c=c·b B.a·b=a·c C.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c| 解析:选BC　设b与a的夹角为θ,当θ为锐角时,a·c=|a||c|=|c|,c·b=|c||b|cos θ=|c|2,不一定相等,故A错误;当θ为锐角时,a·b=|a||b|·cos θ=|b|cos θ=a·c=|a||c|=|c|,成立,当θ为钝角时,a·b=|a||b|cos θ=|b|cos θ=a·c=-|a||c|=-|c|,成立,当θ为直角时,a·b=a·c=0成立,故B正确;|a·c|=|a||c|=|c|≤|b|=2,故C正确;a·c=|a||c|cos θ,故D错误. 11.(5分)已知|a|=6,向量e为单位向量,􀎮a,e􀎯=,则向量a在向量e上的投影为　　　　.  解析:因为|a|=6,向量e为单位向量,<a,e>=,所以向量a在向量e上的投影为·=(a·e)e=|a||e|cos·e=6×·e=3e. 答案:3e 12.(5分)如图,9个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,14)是小正方形的其余各个顶点,则·(i=1,2,…,14)的不同值的个数为　　　　.  解析:由向量的数量积的定义,可得·=||||cos <,>.根据题图可得,当i=3,7,11时,||cos <,>=0,此时·=0;当i=4,8,12时,||cos <,>=|AP1|,此时·=3;当i=5,9,13时,||cos <,>=|AP2|,此时·=6;当i=6,10,14时,||cos <,>=||,此时·=9,所以·的不同值的个数为4. 答案:4 13.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求 (1)·;(2分) (2)·;(2分) (3)·;(3分)(4)·.(3分) 解:(1)易知=,∴·==9. (2)∵=-,∴·=-=-16. (3)根据平面向量数量积的定义知,·=||||cos 60°=4×3×=6. (4)由=-,得·=-·=-4×3×cos 60°=-6. 14.(15分)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·;(5分) (2)在上的投影;(5分) (3)在上的投影.(5分) 解:(1)因为||=5,||=4,||=3, 所以||2+||2=||2,即AC⊥BC, 所以cos B==.所以·=||||·cos(π-B)=5×4×=-16. (2)由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==, 所以在上的投影为||cos A·=3××=. (3)由(1)知,cos B=,所以在上的投影为||cos(π-B)·=5××=-. 学科网（北京）股份有限公司 $