第七章 专题微课 三角函数图象与性质的综合　-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

专题微课　三角函数图象与性质的综合　 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 经历求解三角函数解析式的过程,掌握三角函数的图象与性质知识,提升解题能力,灵活掌握三角函数平移变换,培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质,都是数形结合思想的应用. (2)在解决较复杂的三角函数问题时,一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.体现了转化与化归思想. 题型(一)　利用正、余弦函数的性质求参数 [例1]　已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围是　　　　.  解析:由<x<π,ω>0,得+<ωx+<ωπ+. 又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z, 所以k∈Z,解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z. 又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈. 答案: |思|维|建|模| 已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤 　　首先,明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系求解;另外,若是选择题,利用特值验证排除法求解更为简捷. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围为 (　　) A.　　　　　 B.(1,2] C.(0,1] D. 解析:选A　由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由<+≤,必有+≤π,可得0<ω≤. 2.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.  解析:因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=.因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=,即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z.解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时ωmin=3. 答案:3 题型(二)　与三角函数零点有关的问题 [例2]　已知f(x)=2sin(2x+φ),φ∈(-π,0),一条对称轴为x=,若关于x的方程f(x)=,在有两个不同的实数根,则m的取值范围为 (　　) A.(-4,-2] B.[-4,-2] C.[2,4) D.[2,4] 解析:选A　因为x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)的一条对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z, 解得φ=+kπ,k∈Z.又φ∈(-π,0),所以φ=-. 所以f(x)=2sin.又f(x)=,x∈,即sin=,x∈, 设t=2x-,则t∈,所以sin t=在t∈上有两个零点, 即y=sin t与y=在t∈上有两个交点,如图所示.因为当t=-时,sin t=-,所以-1<≤-,即-4<m≤-2. |思|维|建|模| 　　与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象,利用图象特征求解,或转化为两个函数图象的交点问题. 　　[针对训练] 3.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)= (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选B　由T==π,得ω=2.∴f(x)=2sin.作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示. 由图可知x1+x2=,∴f(x1+x2)=2sin=2×=1. 4.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),f(4)=f(2)-6,且f(x)在[2,4]上具有单调性.设函数g(x)=f(x)-1,且g(x)的定义域为[-5,8],则函数g(x)的所有零点之和等于　　　　.  解析:由f(x)=3sin(ωx+φ),得-3≤f(x)≤3. 因为f(4)=f(2)-6,所以f(2)=3,f(4)=-3. 则f(x)在[2,4]上单调递减,且=2,T=4=, 所以ω=.由f(2)=3sin=3, 可得φ=-+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,所以φ=-,即f(x)=3sin.令t=x-,画出y=3sin t的图象如图所示. 当x∈[-5,8]时,t∈,g(x)=f(x)-1=0,即f(x)=1,在上共有六个根,t1+t2+…+t6=-3π+π+5π=3π,即++…+=3π,则x1+x2+…+x6=12. 答案:12 题型(三)　正、余弦函数图象与性质的综合 [例3]　(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f= (　　) A.1 B. C. D.3 解析:选A　因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2,即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z), 又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=, 所以f(x)=sin+2,所以f=sin+2=sin+2=1.故选A. |思|维|建|模| 研究三角函数的几个方面 整体研究三角函数的性质,我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑. 　　[针对训练] 5.若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是 (　　) A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos 解析:选A　逐一验证,由函数f(x)的周期为π,故排除B;又因为cos=cos=0,所以y=cos的图象不关于直线x=对称,故排除C;令-≤2x-≤,得-≤x≤,所以函数y=sin在上单调递增. 6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)≤f恒成立. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间. 解:(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为, 所以T=π.而ω>0,解得ω=2. 因为f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)≤f, 所以f为最大值f=2sin=2,则2×+φ=2kπ+,k∈Z, 所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<, 所以φ=,所以f(x)=2sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 因为x∈[-π,π], 所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是,,. 学科网（北京）股份有限公司 $