8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦两角和与差的正切公式这一核心知识点，基于两角和与差的正弦、余弦公式推导得出，涵盖公式结构特征、使用条件及常见变形，构建从公式推导到化简、求值、证明的完整学习支架。 采用梯度进阶式教学，通过基础训练、题型分类（简单应用、逆用、变形用）及思维建模，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。课中辅助教师分层授课，课后针对训练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　两角和与差的正切 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 　　　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正切公式 Tα+β tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差的 正切公式 Tα-β tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解| (1)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (2)Tα±β可变形为如下形式: ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. (　　) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan αtan β). (　　) (3)1+tan αtan β=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于 (　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:选A　原式===. 3.已知tan α=2,则tan=　　　　.  解析:tan===-3. 答案:-3 4.=　　　　.  解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. 答案: 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [例1]　(1)若tan=,则tan α=　　 　.  (2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β=　　　　.  解析:(1)法一　∵tan===, ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1), ∴tan α=. 法二　tan α=tan===. (2)∵tan α=,tan β=, ∴tan(α+β)===1. ∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=. 答案:(1)　(2) |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解. (2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小. 　　[针对训练] 1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　　) A.2+1　　 B.2-1　　 C.　　 D.1- 解析:选B　根据题意有=, 即1-tan α=,所以tan α=1-, 所以tan===2-1, 故选B. 2.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π.求α+β的值. 解:把tan α=2,tan β=-代入, 得tan(α+β)===1. 因为0<α<,<β<π. 所以<α+β<.所以α+β=. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [例2]　计算:= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　原式====-=-=-.故选A. |思|维|建|模| 　　一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan=1,tan=,tan=等.要特别注意tan=,tan=. 　　[针对训练] 3.计算:. 解:原式==tan(45°-15°)=tan 30°=. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [例3]　(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　.  (2)=　　　　.  解析:(1)∵tan 60°==, ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. (2)∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°=-tan 60°tan 18°tan 42°, ∴原式=-1. 答案:(1)　(2)-1 |思|维|建|模| 　　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围. 　　[针对训练] 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+(1-tan 87°tan 33°)=.故选A. 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈,则α+β=　　　　.  解析:因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-1.又α,β∈,所以π<α+β<2π,故α+β=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $