8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量数量积的坐标运算核心知识点，系统梳理从数量积定义到坐标表示（a·b=x₁x₂+y₁y₂）的转化，构建模、夹角、垂直的坐标公式及两点间距离公式的学习支架，形成“概念理解—运算掌握—问题解决”的完整脉络。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”辨析数量积本质培养数学眼光，题型分类（如建系求向量模）结合“思维建模”提升数学思维，规范运算步骤强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过基础训练与针对练习帮助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

8.1.3 向量数量积的坐标运算 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 　　　设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b 的夹角为θ,则有 数量积 a·b=x1x2+y1y2 模 |a|=或|a|2=+ 夹角 cos θ== 两点间 距离公式 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则||= 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0 |微|点|助|解| 　　关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点 (1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时). (2)公式a·b=|a||b|cos <a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导. (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos <a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0°. (　　) (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (　　) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.已知=(3,-4),则||等于 (　　) A.3 B.4 C. D.5 解析:选D　||==5. 3.若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是 (　　) A.12 B.3 C.-3 D.-12 解析:选D　∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. 4.已知向量a=(-4,3),b=(5,12),则a·b= (　　) A.52 B.-3 C.-10 D.16 解析:选D　由已知得a·b=-20+36=16.故选D. 5.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为　　　　.  解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==. 答案: 题型(一)　平面向量数量积的坐标表示 [例1]　(1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 (2)已知矩形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于 (　　) A.20 B.15 C.9 D.6 解析:(1)∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),∴a+2b=(-5,6).∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. (2)因为ABCD为矩形,建系如图.A(0,0),M(6,3),N(4,4). 则=(6,3),=(2,-1),·=6×2-3×1=9. 答案:(1)C　(2)C |思|维|建|模| 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算. (2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,一般先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积. 　　[针对训练] 1.已知点P(2,4),Q(1,6),向量=(2,λ),若·=0,则实数λ的值为 (　　) A. B.- C.2 D.1 解析:选D　由P(2,4),Q(1,6)可得=(-1,2),又=(2,λ),所以·=-2+2λ=0,解得λ=1.故选D. 2.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,则·= (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:选B　建立如图所示的平面直角坐标系,因为矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,所以A(0,0),B(2,0),E(2,2),F(1,4),则=(2,2),=(-1,4),所以·=6. 题型(二)　向量的模 [例2]　(1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于 (　　) A. B. C. D. (2)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点,则|+4|的最小值为 (　　) A.3 B.6 C.2 D.4 解析:(1)∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0,解得y=-4.∴3a+b=(1,2),则|3a+b|=. (2)如图,以B点为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设AB=a,BP=x(0≤x≤a),因为AD=1,BC=2,所以P(0,x),C(2,0),D(1,a).所以=(2,-x),=(1,a-x),4=(4,4a-4x).所以+4=(6,4a-5x).所以|+4|=≥6.所以当4a-5x=0,即x=a时,|+4|的最小值为6.故选B. 答案:(1)A　(2)B |思|维|建|模| 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|==,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 　　[针对训练] 3.已知=(1,3),=(3,m),·=2,则||= (　　) A.1 B.2 C. D.3 解析:选B　因为=-=(2,m-3),则·=2+3(m-3)=2,则m=3,所以=(2,0),则||=2,故选B. 4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,0),则|2a-b|的最大值为　　　　.  解析:由题意得2a-b=(2cos θ-,2sin θ),则|2a-b|2=(2cos θ-)2+(2sin θ)2=4cos2θ-4cos θ+3+4sin2θ=7-4cos θ,当且仅当cos θ=-1时,|2a-b|取最大值2+. 答案:2+ 题型(三)　向量的夹角与垂直 [例3]　已知向量a=(m+1,2),b=(-1,-m). (1)若m>0,且(a+b)⊥b,求向量a在向量b上投影的坐标; (2)若向量a与b的夹角为锐角,求实数m的取值范围. 解:(1)由a=(m+1,2),b=(-1,-m),可得a+b=(m,2-m).因为(a+b)⊥b,可得-m+m(m-2)=m2-3m=0,解得m=0或m=3,又因为m>0,所以m=3,此时a=(4,2),b=(-1,-3),可得a·b=-10且|b|=,所以a在b上的投影为·b=-b=(1,3). (2)因为a=(m+1,2),b=(-1,-m),a与b的夹角为锐角,所以a·b>0且a与b不共线, 则满足解得m<-且m≠-2,故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪. |思|维|建|模| 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ. 　　[针对训练] 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选D　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. 6.如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos ∠DOE的值为　　　　.  解析:以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=,=.故cos ∠DOE===. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $