8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面向量数量积的运算律这一核心知识点，系统梳理交换律、结合律、分配律等运算律及类比多项式乘法的常用结论，通过求数量积、模、夹角与垂直问题的题型训练，构建从理论到应用的学习支架。 该资料采用拓展融通课—习题讲评式教学，结合高考真题（如2023全国乙卷）和变式拓展，培养学生用数学思维推理（如方程思想求模）、用数学语言表达（向量线性运算），课中助力教师高效授课，课后通过思维建模和针对训练帮助学生查漏补缺。

8.1.2 向量数量积的运算律 [教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步掌握数量积的运算,掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题. 1.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 加法分配律 (a+b)·c=a·c+b·c |微|点|助|解| (1)向量的数量积不满足消去律:若a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,但得不到a=b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 2.平面向量的数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式,可写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b) 2=a2+2a·b+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2 (a-b) 2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a 题型(一)　平面向量数量积 [例1]　(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　) A. B.3 C.2 D.5 解析:选B　由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·=·=||2-||2=4-1=3,故选B. |思|维|建|模| 　　求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 　　[针对训练] 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·= (　　) A.2 　　　　B.4 C.3 　　　　D. 解析:选B　根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0,又因为= ,||=2,所以·=·=||||cos ∠ADB=×2×||×=4.故选B. 2.如图,在平行四边形ABCD中,已知=,=,||=2,||=2,则·= (　　) A.-9 B.-6 C.6 D.9 解析:选A　由题意可得,=+=+=+,=+=+=+, ∴=+·+=4,　① =+·+=12,　② ①-②得-=-8,即-=-9, ∴·=(+)·(-)=-=-9. 题型(二)　平面向量的模 [例2]　已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10. 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10. 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2; ②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. 　　[针对训练] 3.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　　) A.3 　　　　B.4 C.5 　　　　D.6 解析:选C　∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20.∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. 4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=　　　　.  解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=. 答案: 题型(三)　平面向量的夹角与垂直 [例3]　 (1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角, 则k的取值范围为　　　　.  解析:(1)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===.因为0≤θ ≤π,所以a与b的夹角为,故选B. (2)因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0. 当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为(0,1)∪(1,+∞). 答案:(1)B　(2)(0,1)∪(1,+∞) 　　[变式拓展] 　将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围. 解:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角, 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0. 当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0). |思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈;当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=. 　　[针对训练] 5.(多选)设e1,e2均为单位向量,且|e1-2e2|≤,a=e1-e2,b=3e1+e2,则 (　　) A.<e1,e2>> B.|a|的最大值为2 C.a·b的最大值为1 D.|a-b|≥2 解析:选CD　由e1,e2均为单位向量,|e1-2e2|≤,得5-4e1·e2≤3,即e1·e2≥,则cos<e1,e2>=≥,又<e1,e2>∈[0,π],所以0≤<e1,e2>≤,故A错误;|a|2=+-2e1·e2≤1+1-2×=1,所以|a|max=1,故B错误;a·b=3--2e1·e2≤3-1-2×=1,故C正确;a-b=-2e1-2e2,则|a-b|2=4+4+8e1·e2≥12,所以|a-b|≥2,故D正确. 6.已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,则k的最小值为　　　　.  解析:∵a⊥b,∴a·b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2+t(t-3)b2=0. ∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t(t-3)=0. ∴k=(t2-3t)=-(t≠0). 故当t=时,k取得最小值,最小值为-. 答案:- 学科网（北京）股份有限公司 $