7.3.5 已知三角函数值求角-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

'适合条件的工应在第三或第四象限, v-sint 为1.- (711). 因为f(r.)=f(x。)=f(x。)>0,结合y=sin1的图象(如 解法二(借助正弦线)如图所示。 图所示), 得到1+=π. +1-3π或1+1=3π,\+1-5π. 因为x-.-2(x-x)-4x,所以x-3x,-7 18x+2-解得=-- 20x.+2q-3π, [8r.+2-3π. 5,不符合题意,舍去,综上, 或 解得一 120r+2-5π, 又 sin(n+)-sin(2-)--1 可得的值为一 [答案](1)A(2)C(3)-π 解法三(借助正弦曲线)如图所示。 7.3.5 已知三角函数值求角 课前案·自主学习 .-.--.1 [教材梳理] 导学 问题[提示]·AE(0.x). .利用y一sinx的图象 [母题变式] 1.解析 由本例(3)知 当r [o.2]时-7-或r-11当x R时- #当sinA得:#4# 6 2kx或-11+2kn.^z. __ 6 --+ 2k或-11+2kx(6éz乙) 答案x= 6 2.解析 借助正弦曲线,如图所示。 [基础自测] -2 1.(1)X (2)X(3)V(4)× #去40...._ 2.B (0)由 sinr.r,故选B. #$[-##<# 当x仁R时,满足条件的x的取值范围是 。 $.$-k·360{}+50{或x-b·360+130{,$ 答案 sinx=cos40*-sin50*-sin 130{由正弦线可得x-k· [触类旁通] 36 0{}+50 或x-k·360+*+130{},. 课堂案·互动探究 [例1][解析](1)”'y-sin cr[-]是单调递 所以a+15{(15^{},105^*}),a+15^{}-45^{},所以a-30”。 [例2] [解析] 要使函数有意义, 增&数,且知sin(一)--### 。co# 要1 200,→0{ 12sinr-10, 故&的集合为(1一).# 如图所示。 (2)y_n在 ni- { #,故合(1). (3)解法一 .函数y=sinx,x[0,2x]. 且sinx-- c0s1的解集为 {-十2^<<-+2^,太E ^ , 由最高气温为17.9C,最低气温为9.5C. 则A-17.9-9.5-4.2. sin→的解集为 +2^x<<5+2kx,ke 2}, 2 17.9+9.5-13.7. 它们的交集十2^2+欢6 ,即为高数 2 业然212-_故- 的定义域. [触类旁通] 又x-2时/取最大值,取ar十-0. 2.解析 由题意可得2cos(+a)=-1, 则co(a)--# 所以1-4.2co()+13.7为该市的常年气温模型 2--→-十- 函数式。 解得-或a-π. (2)如图所示,作直线1一13.7与函数图象交于两点, (5.13.7).(11,13.7). 答案 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不 低于13.7C,是该市的最佳旅游时间。 [例3] [解析] 画出y=tanx, 一# [案例2][解析](1)因为/(1)=Asin(ar--)+6(A> 0.a0)图象上最低点坐标为(3,一4),与之相邻的最高点 坐标为(15,12). 2 -4十8-4. ##(一,)的图象。 (1)当E(-### 所以(1)-8sin(-3-)+4(0<(<24). (2):x(0.n)且tanx0 (2)根据题设,由(1)得8sin(-3)+4<o, .xe(). ## 0(#3)## 由y-sinx的图象得 (3)当xR,由正切函数的周期性得 ##=n-.(z)# 解得23+24 t<31+24,. [触类旁通] 又01<24. 3.B 由题可知该点坐标为(-cos吾,sin吾). 当 =-1时,0 $7,当 -0时,23 2 4$$ 即(一#)并且该点在第二象限, 所以0/<7或23<124. 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时. [建模活动] 2 87.4 数学建模活动:周期现象的描述 [数学建模] [案例1] [解析](1)以月份x为横轴,气温!为纵轴作出 2.5 图象,并以光滑的曲线连接各散点,得如图所示的曲线. 气(C) 语()分不分分分△ 所以万与/的函数解析式是 ##)#-(3#))+# 1:13.7 (2)令#()-sin(#-)+→o# #sto() ##以一#,200 0123456789101112 x(月份) 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,依散 所以水车在一个旋转周期内,盛水简P在水面以上的时长 点图所绘制的图象,我们可以考虑用t一Acos(ox十c)十k来 描述。O数学·必修第三册（配RJB版） 7.3.5 已知三角函数值求角 学业标准 学科素养 1.能根据[0,2π]范围确定已知三角函数值的角.（重点） 通过已知三角函数值或范围求角的值或范 2.已知一个三角函数值，能合理地表示出与它对应的角， 围，培养直观想象、数学运算核心素养】 (难点) 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (3)若tana=l,则tana=+元() 导学 已知三角函数值求角 (4)若sina=sinB,则a十B=π或a=B. ?问题 在△ABC中，若snA=2,则A= ) 2.设x是锐角三角形的内角，且sinx= 3 若snA>?,则A的取值范围是 2 则x等于 ⊙结论形成 已知三角函数值求角的基本方法：三角函 A君 B晋 数图象法、三角函数线法. c晋或晋 D或号 D基础自测 3.若cosx= 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 2,x∈(0,2x),则x的值为 (1)若sina= ，则a=晋+2x (2)若cosa=cosB,则a=B. 4.若sinx=cos40°，则x的值为 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 已知正弦值（范围）求角的值 [自主解答] (范围) 一题多变 例1已知sinx= 1 (1)当x∈ 引时，求x的合： ②)当x∈[臣贸时，求x的集合： (3)当x∈[0,2π]时，求x的集合， 52 第七章三角函数○ [母题变式] 规律方法 1.(变结论)本例条件不变，若x∈R,则x的 (1)已知余弦值求角的值的方法 值为 借助余弦线或余弦函数图象，一般先求[0， 2.(变条件、变结论)本例条件变为“若sinx≥ : 2π]上的角，再求符合题意的所有角 ”,则x的取值范围是 (2)若cosx=cosa(a已知)，则x=2kr十 a或x=2kπ十2π一a,k∈Z,也可写成x=2kπ士a, [素养聚焦]已知正弦值求角的过程中，强化了 k∈Z 数形结合的思想，体现的核心素养是直观想象， [触类旁通] 规律方法 2.已知x=牙是方程2cos(x十a)=-1的解， 已知正弦值（范围）求角的值（范围）的方法 (1)借助正弦线，先求出[0,2π]内的角或范 其中a∈(0,2π)，则a= 围，再利用终边相同角的表示方法求全角」 题型三 已知正切值（范围）求角的值（范围） (2)借助正弦曲线，可先选[-受，]，也可选 例3已知tanx=-√3. [0,2π]求出满足题意的角或范围，在此基础上求 )当x∈(-受，)时，求角x的值； 全角. 汇提醒]角的范围的表示形式不唯 (2)当x为三角形的一个内角时，求角x [触类旁通] 的值； (3)当x∈R时，求角x的值. 1若a是锐角，sn(e+15)=号，那么锐角。 [自主解答] 等于 ( A.15 B.30° C.45 D.60 题型二 已知余弦值（范围）求角的值（范围） 例2求函数y=√/1-2cosz+lg(2sinx-1) 的定义域： [自主解答] 规律方法 已知正切值（范围）求角的值（范围）与题型 一、题型二的方法基本相同，主要借助三角函数线 或三角函数图象求解，不同的是周期不一样，写全 解时要注意， 53 ○数学·必修第三册（配RJB版） [触类旁通] 又y=cosx的周期为2π，所以满足c0sx= 3.已知角a的终边上一点的坐标为（一cos 3, cos 牙的x为2k元士(k∈Z). sin),则角a的最小正值为 (2)在(-受，)上满足anx=tan号的t A. B. 2π 有且只有一个：号 c号 D 3 又y=tanx的周期为π，则满足tanx= [缜密思维提能区] 易错辨析 tan罗的x为kx十牙(k∈Z). 已知三角函数值求值 [纠错心得] [典例们(1)已知cosx=cos行，求x. 已知三角函数值求角，要注意其周期性，避免 漏解或增解。 (2)已知tanx=tan牙，求x 课堂小结 [错解] (1)"cos =c0s, 知识落实 技法强化 ∴x=5+2kx,k∈Z (1)已知三角函数值求角 (1)利用单位圆中的三 应用了数形结合的思想 (2):tanx=tan牙，心x=号+2kx,k∈Z 角函数线，由三角函数 方法 值求角、解不等式 [错因分析](1)对余弦函数的单调性理 (2)arcsin x,arccos x, 解不深刻；(2)对正切函数的周期记忆错误 (2)arcsin x,arccos x, arctan x的取值范围容易 arctan x的含义. 为2π. 出错。 [正解](1)在同一个周期[一π，π]内， 温馨 请完成[课后案】学业评价（十三）、 满足c0sx=c0s号的角有两个：号和一牙 提示 阶段测评（二） 一54