7.3.2 第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 [教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性及最值的求法. 2.理解函数y=Asin(ωx+φ)的对称性,会利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性解决一些简单问题. 题型(一)　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性 [例1]　(1)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若函数y=g(x)在上单调递增,则ω的最小值为 (　　) A.2 B. C.3 D.4 (2)函数y=2sin+1的单调递增区间为　　　　.  解析:(1)因为函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象, 所以g(x)=f=sin=sin=cos ωx. 当x∈时,ωx∈,因为函数y=g(x)在上单调递增, 所以有k∈Z⇒4k+2≤ω≤⇒k=0,2≤ω≤,因此ω的最小值为2. (2)y=2sin+1=-2sin+1, 要求y=2sin+1的单调递增区间, 即求函数y=sin的单调递减区间. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 故所求函数y=2sin+1的单调递增区间为,k∈Z. 答案:(1)A　(2),k∈Z |思|维|建|模| 求单调区间的基本方法——基本函数法 用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的步骤: 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=sin(0<ω<2),若函数f(x)在区间上为减函数,则实数ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-.由题意及正弦函数的单调性可得解得+2k≤ω≤+,k∈Z.又0<ω<2,令k=0,可得≤ω≤,故选B. 2.函数y=1+sin,x∈[-4π,4π]的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　　 　.  解析:y=1+sin=-sin+1. 由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),解得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z).又∵x∈[-4π,4π], ∴函数y=1+sin的单调递减区间为 ,,. 答案:,, 题型(二)　函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题 [例2]　(1)若函数f(x)=asin+b(a>0)的值域为[-3,5],则ab= (　　) A.-4 B.4 C.-3 D.3 (2)已知f(x)=2sin-3(ω>0),最小正周期是π.求f(x)的最值,以及取得最值时相应x的集合. 解析:(1)选B　因为sin∈[-1,1],所以f(x)∈[-a+b,a+b],a>0. 由题意得所以故ab=4. (2)由T==π,得ω=2.所以f(x)=2sin-3,则函数f(x)的最大值为2-3=-1, 此时2x+=2kπ+,k∈Z,则x=kπ+,k∈Z, 即自变量x的取值集合是; 函数f(x)的最小值为-2-3=-5,此时2x+=2kπ-,k∈Z,则x=kπ-,k∈Z, 即自变量x的取值集合是. |思|维|建|模| 　　求函数y=Asin(ωx+φ),x∈[m,n]的值域一般是令u=ωx+φ,并求u的取值范围;令y=sin u(注意u的取值范围),结合y=sin x的值域求解. 　　[针对训练] 3.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=　　　　.  解析:∵x∈,且0<ω<1,∴0≤ωx≤<. ∵f(x)max=2sin=,∴sin=,=,即ω=. 答案: 4.求函数y=2sin的最大值和最小值. 解:∵-≤x≤,∴0≤2x+≤.∴0≤sin≤1. ∴当sin=1时,ymax=2; 当sin=0时,ymin=0. 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性及对称性 [例3]　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　　) A.- B.- C. D. (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π. ①求当f(x)为偶函数时φ的值; ②若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间. 解析:(1)选D　由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点, 所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0,于是f(x)=sin,f=sin=sin=,故选D. (2)由f(x)的最小正周期为π,得T==π, 所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ). ①当f(x)为偶函数时,有φ=+kπ(k∈Z). 因为0<φ<,所以φ=. ②因为f=,所以sin=, 即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z), 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z), 又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z). |思|维|建|模| 1.与周期相关的结论 由函数y=Af(ωx+φ)(Aω≠0)(f为sin,cos)的图象可知: (1)相邻两个最大值点之间的区间长度为周期T; (2)相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为; (3)相邻的最值点与零点之间的区间长度为; (4)函数的单调递减区间和单调递增区间的长度都为. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴(中心)及周期,可令ωx+φ=kπ+(求对称轴)或ωx+φ=kπ(求对称中心),T=求解. 　　[针对训练] 5.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点, 令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确; 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC. 6.已知f(x)=sin,其函数图象关于直线x=对称,若函数在区间上有且只有三个零点,则θ的取值范围为　　　.  解析:因为函数f(x)=sin关于直线x=对称,所以×+φ=+φ=+kπ,k∈Z.所以φ=+kπ,k∈Z.因为0<φ<,所以φ=.所以f(x)=sin.当x∈时,x+∈,要使函数在区间上有且只有三个零点,则3π<θ+≤4π.所以θ的取值范围为. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $