7.3.2 第1课时 参数A，φ，ω的变化对函数图象、性质的影响-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　参数A，φ，ω的变化对函数图象、性质的影响 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义.3.了解参数的变化对函数图象的影响． 教学重点：参数A，φ，ω的变化对函数图象、性质的影响． 教学难点：正弦型函数的图象变换． 核心素养：通过五点法画图象，分析、归纳出规律，培养直观想象素养和数学抽象素养． 知识点一　正弦型函数 一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0． 知识点二　参数A，φ，ω的变化对函数图象的影响 (1)振幅变换——纵向伸缩变换 要得到函数y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可． (2)相位变换——左右平移变换 要得到函数y＝sin(x＋φ)的图象只要将函数y＝sinx图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位即可． (3)周期变换——横向伸缩变换 要得到函数y＝sinωx(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以把函数y＝sinx(x∈R)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可． 知识点三　A，φ，ω对三角函数性质的影响 (1)一般地，函数y＝Asinx(A≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是2π． (2)一般地，函数y＝sin(x＋φ)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是2π． (3)一般地，函数y＝sinωx(ω≠0)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是． 知识点四　五点法作正弦型函数的图象 令u＝ωx＋φ，则将u分别取0，，π，，2π并求出对应的x值，列表如下： x － u＝ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 由此可得五个关键点：，，，，. 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型函数的大致图象． [提醒]　三角函数图象的两种变换 (1)平移变换 ①沿x轴平移，按“左加右减”规律； ②沿y轴平移，按“上加下减”规律． (2)对称变换 ①函数y＝f(x)的图象函数y＝－f(x)的图象； ②函数y＝f(x)的图象函数y＝f(－x)的图象； ③函数y＝f(x)的图象函数y＝－f(－x)的图象． 1．(最值)(教材P51练习B T3(2)改编)y＝sin2x＋1的最大值为________，最小值为________． 答案：2　0 2．(周期变换)将函数y＝sin2x图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到________的图象． 答案：y＝sin4x 3．(相位变换)将函数y＝sin3x的图象向右平移个单位后，所得函数图象对应的解析式为________． 答案：y＝sin 题型一　函数y＝Asinx的图象与性质 例1　(1)用“五点法”画出函数y＝2sinx和y＝－2sinx在[0，2π]上的图象，并分别写出各自的定义域、值域、周期． [解]　①列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx 0 2 0 －2 0 　　描点并用光滑的曲线连接，可得y＝2sinx，x∈[0，2π]的图象，如图所示． y＝2sinx的定义域为R，值域为[－2，2]，周期为2π. ②列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝－2sinx 0 －2 0 2 0 　　描点并用光滑的曲线连接，可得y＝－2sinx，x∈[0，2π]的图象，如图所示． y＝－2sinx的定义域为R，值域为[－2，2]，周期为2π. (2)函数y＝－sinx－1的图象可以看作是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？ [解]　将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得图象再作关于x轴的对称图象，得到函数y＝－sinx的图象 ，最后将y＝－sinx的图象向下平移1个单位，即可得到函数y＝－sinx－1的图象． 【感悟提升】　A对y＝Asinx的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 y＝Asinx的图象． (2)若A>0，则y＝Asinx的最大值为A，最小值为－A；若A<0，则y＝Asinx的最大值为－A，最小值为A. (3)若A>0，则y＝Asinx的单调性与y＝sinx的单调性相同；若A<0，则y＝Asinx的单调性与y＝sinx的单调性相反． (4)y＝Asinx图象的对称轴、对称中心与y＝sinx图象的对称轴、对称中心相同． (5)y＝Asinx的奇偶性与y＝sinx的奇偶性相同，都为奇函数． 【跟踪训练】 1．函数y＝－3sinx＋1的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？并讨论函数y＝－3sinx＋1的性质． 解：将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到函数y＝3sinx的图象，再将函数y＝3sinx的图象关于x轴对称，得到函数y＝－3sinx的图象，最后将y＝－3sinx的图象向上平移1个单位，即可得到函数y＝－3sinx＋1的图象． 由函数y＝sinx的图象及性质可得y＝－3sinx＋1的性质如下： 定义域：R. 值域：[－2，4]． 最值：∵当x＝2kπ＋(k∈Z)时，y＝sinx有最小值－1， ∴y＝－3sinx＋1有最大值4； ∵当x＝2kπ＋(k∈Z)时，y＝sinx有最大值1， ∴y＝－3sinx＋1有最小值－2. 周期性：周期函数，最小正周期为2π. 单调性：由y＝sinx在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减，知y＝－3sinx＋1在(k∈Z)上单调递减，在(k∈Z)上单调递增． 奇偶性：设f(x)＝y＝－3sinx＋1，∵f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，∴y＝－3sinx＋1既不是奇函数也不是偶函数． 对称性：函数图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)；对称中心为点(kπ，1)(k∈Z)． 题型二　函数y＝sin(x＋φ)的图象与性质 例2　(1)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sinx的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 [解析]　要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sinx的图象向右平移个单位．故选D. [答案]　D (2)(多选)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴 C．点是函数g(x)图象的一个对称中心 D．函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z [解析]　由已知条件可得g(x)＝sin＝sin.对于A，f(x)＝sin是非奇非偶函数，A错误；对于B，令x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，可知直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝1，可知点是g(x)图象的一个对称中心，C正确；对于D，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，即函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确．故选BCD. [答案]　BCD 【感悟提升】　φ对y＝sin(x＋φ)的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 y＝sin(x＋φ)的图象．简记为“左加右减”． (2)函数y＝sin(x＋φ)的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. (3)函数y＝sin(x＋φ)图象的对称轴为直线x＝－φ＋kπ，k∈Z，对称中心为(kπ－φ，0)，k∈Z. (4)函数y＝sin(x＋φ)的奇偶性与φ的取值有关． 【跟踪训练】 2．函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象． (1)求g(x)图象的对称轴及对称中心； (2)求g(x)的单调递减区间． 解：由题意， 得g(x)＝sin＝sin. (1)令x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z， 即g(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z. 令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z， 即g(x)图象的对称中心为，k∈Z. (2)令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 即g(x)的单调递减区间为，k∈Z. 题型三　函数y＝sinωx的图象与性质 例3　(1)为了得到函数y＝sin4x的图象，只要把函数y＝sin3x图象上所有点的(　　) A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 [解析]　依据函数y＝sinωx的图象与y＝sinx图象之间的变换特点，可得把函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin4x的图象．故选B. [答案]　B (2)函数f(x)＝sinx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为(　　) A．g(x)的最小正周期为3π B．g(x)的最大值为 C．直线x＝是g(x)图象的一条对称轴 D．是g(x)的一个单调递增区间 [解析]　由题意，得g(x)＝sinx.对于A，g(x)的最小正周期为，A错误；对于B，g(x)的最大值为1，B错误；对于C，令x＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，得x＝，所以直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，C正确；对于D，令－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，得g(x)的单调递增区间为，k∈Z，令＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，得g(x)的单调递减区间为，k∈Z，所以当k＝0时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数g(x)在上先增后减，D错误．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　ω对y＝sinωx的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 y＝sinωx的图象． (2)y＝sinωx(ω>0)的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. (3)y＝sinωx图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，对称中心为. (4)y＝sinωx的奇偶性与y＝sinx的奇偶性相同，都为奇函数． 【跟踪训练】 3．(1)(2024·北京高考)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2.故选B. (2)将一个函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y＝sinx的图象，则此函数的解析式是(　　) A．y＝3sin B．y＝3sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：C 解析：进行逆变换，即将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得函数y＝sin的图象，再将该函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得函数y＝sin的图象．故选C. (3)(多选)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)的最小正周期为2π，则下列说法错误的是(　　) A．ω＝1 B．函数f(x)是奇函数 C．当x∈[0，2π]时，函数f(x)在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数 D．当x∈[－π，π]时，函数f(x)在上是减函数，在，上是增函数 答案：CD 解析：因为函数f(x)＝2sinωx(ω>0)的最小正周期为2π，所以＝2π，ω＝1，故A正确；因为f(x)＝2sinx，定义域为R，f(－x)＝2sin(－x)＝－2sinx＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故B正确；当x∈时，由正弦函数的单调性可知，函数f(x)＝2sinx在，上是增函数，在上是减函数，故C错误；当x∈[－π，π]时，由正弦函数的单调性可知，函数f(x)＝2sinx在，上是减函数，在上是增函数，故D错误．故选CD. 题型四　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例4　用“五点法”作函数y＝3sin，x∈的简图． [解]　①列表： x － 2x＋ 0 π 2π y＝3sin 0 3 0 －3 0 ②描点：在坐标系中描出下列各点：，，，，. ③连线：用光滑的曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示． 【感悟提升】　用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的注意点 (1)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是同一个周期内使函数取得最大值、最小值的点以及曲线与x轴相交的点． (2)画y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，，π，，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标． 【跟踪训练】 4．用“五点法”作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：①列表： x π 4π 7π x－ 0 π 2π y＝sin 0 0 － 0 ②描点：在坐标系中描出下列各点：(π，0)，，(4π，0)，，(7π，0)． ③连线：用光滑的曲线将所描的点从左到右顺次连接起来，即得到函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象，如图所示． 1．函数f(x)＝sin的周期是(　　) A． B．π C．2π D．3π 答案：C 解析：T＝＝2π.故选C. 2．函数y＝sin(－2x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 答案：D 解析：由函数y＝sinωx与y＝sinx图象之间的变换特点可知D正确．故选D. 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．将函数y＝sinx的图象向右平移π个单位，得到函数y＝－sinx的图象 B．将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sinx的图象 C．将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变，得到函数y＝4sinx的图象 D．为得到函数y＝sinx－1的图象，只需将函数y＝sinx图象上所有的点向上平移1个单位 答案：AC 解析：对于A，将函数y＝sinx的图象向右平移π个单位，得到函数y＝sin(x－π)＝－sinx的图象，故A正确；对于B，将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin4x的图象，故B错误；对于C，将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变，得到函数y＝4sinx的图象，故C正确；对于D，为得到函数y＝sinx－1的图象，只需将函数y＝sinx图象上所有的点向下平移1个单位，故D错误．故选AC. 4．函数f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω＝________． 答案： 解析：由题意，知函数在x＝时取得最大值，则＝2kπ＋，k∈Z，得ω＝6k＋，k∈Z，经检验，只有k＝0时，ω＝满足题意． 5．用五点法作函数y＝2sin＋3的图象，并写出函数的定义域、值域、周期、最值、单调区间及函数图象的对称轴． 解：①列表： x x－ 0 π 2π y＝2sin＋3 3 5 3 1 3 ②描点、连线作出一个周期的函数图象． ③把此图象向左、右平移，每次平移2π个单位，即得y＝2sin＋3的图象． 由图象可知函数的定义域为R，值域为[1，5]， 周期为T＝＝2π， 最大值为5，最小值为1. 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数的单调递增区间为(k∈Z)； 令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为(k∈Z)． 令x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝kπ＋(k∈Z)， 所以函数图象的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z)． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 函数y＝sin(x＋φ)的图象 函数y＝sin(x＋φ)，y＝sinωx的性质 函数y＝sinωx的性质 函数y＝sinωx的性质 函数y＝sin(ωx＋φ)的性质 函数y＝sin(x＋φ)的性质 函数y＝sin(x＋φ)的性质 关联点 左右平移变换 单调性 周期性 由周期性求ω的最值 单调性、周期性、对称性 单调递减区间 由值域求参数的取值范围 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 主考点 函数y＝sinωx的性质 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 函数y＝Asinx，y＝sinωx的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的应用 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的应用 函数y＝sin(ωx＋φ)的性质、图象的应用 关联点 由周期性求ω的取值范围 最值 最值 交点个数 图象变换、结合图象解不等式、交点个数 新定义问题 单调性、图象变换 一、选择题 1．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵φ∈[0，2π)，∴把y＝sinx的图象向左平移φ个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象，由题意，得y＝sin(x＋φ)与y＝sin的图象重合，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.又0≤φ<2π，取k＝1，则φ＝.故选D. 2．下列函数中，在区间上是增函数的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin4x C．y＝－sin D．y＝sin 答案：D 解析：对于A，当x∈时，x－∈，y＝sin不单调，不符合题意；对于B，当x∈时，4x∈[－2π，0]，y＝sin4x不单调，不符合题意；对于C，当x∈时，x＋∈，y＝－sin单调递减，不符合题意；对于D，当x∈时，∈，y＝sin单调递增，符合题意．故选D. 3．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin2x C．y＝ D．y＝|sinx| 答案：A 解析：由选项中四个函数图象的特点，可知y＝sin的最小正周期为4π，y＝sin2x的最小正周期为π，y＝的最小正周期为2π，y＝|sinx|的最小正周期为π.故选A. 4．为了使函数y＝sinωx＋1(ω>0)在区间[0，2]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．49π B． C． D．100π 答案：B 解析：要使函数y＝sinωx＋1(ω>0)在区间[0，2]上至少出现50次最大值，则[0，2]至少包含49＝个周期，∴T＝·≤2，∴ω≥，故ω的最小值为.故选B. 5．(多选)下列关于函数y＝sin的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于点中心对称 D．图象关于直线x＝－对称 答案：ABD 解析：由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又在此区间上，故A正确；T＝＝π，故B正确；令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.当k＝0和k＝－1时，可知直线x＝和直线x＝－都是函数图象的对称轴，故C错误，D正确． 二、填空题 6．函数y＝sin在[0，2π]上的单调递减区间为________． 答案：， 解析：函数y＝sin＝－sin，由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，取k＝0，得－≤x≤；取k＝1，得≤x≤，所以函数y＝sin在[0，2π]上的单调递减区间为，. 7．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由x∈，知x＋∈.∵f(x)的值域是，∴由正弦函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π. 8．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx在区间上恰有9个零点，则ω的取值范围是________． 答案：[16，20) 解析：f(x)＝sinωx在区间上恰有9个零点，等价于f(x)在上恰有4个零点，设f(x)的周期为T，则即所以则故ω的取值范围为[16，20)． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝sin. (1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝sin. 列表如下： x 0 π 2x＋ π 2π f(x) 1 0 － 0 1 描点、连线得f(x)在区间[0，π]上的图象，如图所示． (2)当x∈时，2x＋∈， ∴当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最大值； 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1. 10．求函数y＝sin2x和y＝3－2sinx的最大值、最小值，并求出相应x的集合． 解：①当2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin2x取得最大值1，相应x的集合为； 当2x＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，函数y＝sin2x取得最小值－1，相应x的集合为. ②因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，函数y＝3－2sinx取得最大值5，相应x的集合为； 当sinx＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝3－2sinx取得最小值1，相应x的集合为. 11．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y＝sinx的最小正周期为T1＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T2＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法作出两函数的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象有6个交点．故选C. 12．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象经怎样的变换可得到函数y＝sinx，x∈[－π，π]的图象； (2)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y>1，②y<1； (3)若直线y＝a与函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － 0 π sinx 0 －1 0 1 0 1－2sinx 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． (1)先将函数y＝1－2sinx的图象向下平移1个单位得到y＝－2sinx的图象，再将y＝－2sinx的图象关于x轴对称，得到y＝2sinx的图象，最后将y＝2sinx的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sinx的图象． (2)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时，y>1，在直线y＝1下方部分时，y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1. (3)如图所示，当直线y＝a与函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)． 13．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在上的面积为(n∈N＋)． (1)求y＝sin3x在上的面积； (2)求y＝sin(3x－π)＋1在上的面积． 解：(1)由已知函数y＝sinnx在(即半个周期长区间)上的面积为(n∈N＋)，易得函数y＝sin3x在(即一个周期长区间)上的面积为×2＝. (2)先作y＝sin(3x－π)＋1即y＝－sin3x＋1的图象，如图所示． 观察图象并由(1)可得函数y＝sin(3x－π)＋1在上的面积为×2＋×1－＝＋π. 14．在①f(x)的图象过点；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)的图象关于点对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为2π，________． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将f(x)图象上所有的点向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．请画出函数g(x)在[0，π]上的图象，并求出函数g(x)的单调递增区间和单调递减区间． 解：方案一：若选①. (1)由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 所以f(x)＝sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象过点， 所以sin＝，即cosφ＝. 又－<φ<0，所以φ＝－， 故f(x)＝sin. (2)将f(x)图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin＝sin的图象，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得到g(x)＝sin的图象． 当0≤x≤π时，≤2x＋≤，列表如下： x 0 π 2x＋ π 2π g(x) 1 0 －1 0 所以函数g(x)＝sin在[0，π]上的图象如图所示： 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)； 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 方案二：若选②. (1)由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 所以f(x)＝sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 即φ＝kπ－(k∈Z)． 又－<φ<0，所以φ＝－. 故f(x)＝sin. (2)同方案一． 方案三：若选③. (1)由已知，得T＝＝2π，则ω＝1， 所以f(x)＝sin(x＋φ)． 因为f(x)的图象关于点对称， 所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)． 又－<φ<0，所以φ＝－. 故f(x)＝sin. (2)同方案一． 21 学科网（北京）股份有限公司 $$