专题7.3.3 余弦函数的性质与图像（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题7.3.3 余弦函数的性质与图像 教学目标 1．掌握余弦函数图象的平移法与“五点法”绘制，能画出上的简图。 2．熟知余弦函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性与对称性。 3．能运用余弦函数性质判断单调区间、求最值，解决基础应用问题。 教学重难点 重点：余弦函数图象的“五点法”绘制步骤，两种图象绘制方法的应用；余弦函数的周期性、奇偶性、单调性及最值等核心性质。 难点：精准选取“五点法”关键点，把握图象的对称性与凸凹方向；灵活运用余弦函数单调性求区间，理解对称性的代数表达。 知识点1：余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向_______平移_______个单位长度即可，这是由于_______. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，_______，，，_______，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的_______、_______以及图象与坐标轴的_______，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 【即学即练】 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 2．用“五点法”作，的图象. 知识点2：余弦函数的图象性质 函数 图象 定义域 定义域 _______ 值域 _______ 周期性 奇偶性 _______ 单调性 在上单调递_______；在()上单调递_______ 最值 当_______()时，；当_______时， 对称性 对称中心为_______()；对称轴为直线_______() 【即学即练】 3．（多选）下列关于函数的表述正确的是（    ） A．在上单调递减 B．当时，函数取得最大值2 C．函数是偶函数 D．函数的值域为 4．函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型01 五点作图法作余弦（型）函数的图像 【例1】作出函数，的大致图像. 【例2】当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【变式1-2】当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【变式1-3】函数在区间上的零点个数为（   ）. A．3 B．4 C．5 D．6 题型02 余弦（型）函数与不等式 【例3】已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例4】已知函数，则角所处象限为（    ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限 【变式2-1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】不等式组的解集为 ． 【变式2-3】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型03 余弦（型）函数的周期性 【例5】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【例6】“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 【变式3-3】对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型04 余弦（型）函数的奇偶性 【例7】若函数为奇函数，则 ． 【例8】函数在上的图像大致为（     ） A．     B．   C．   D．   【变式4-1】下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若为偶函数，则实数a= ． 【变式4-3】已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 题型05 求余弦（型）函数的对称性 【例9】函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【例10】函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 【变式5-3】函数在上的零点个数为 ． 对于函数的图象： （1）对称中心：由，得对称中心为，即函数值为0的点； （2）对称轴：由，得对称轴，即函数取得最值对应的与轴垂直的直线。 题型06 根据奇偶性或对称性求参数 【例11】将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【例12】记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式6-1】已知函数是偶函数，且，则的最小值为 . 【变式6-2】已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型07 求余弦（型）函数的单调区间 【例13】函数的单调递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例14】下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】函数的单调递减区间为 ． 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型08 利用单调性比较大小 【例15】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例16】在三角形中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】设，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型09 求余弦（型）函数的值域、最值 【例17】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例18】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【变式9-1】函数且，则函数值域是 ．（用区间表示） 【变式9-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则的最大值为 . 【变式9-3】已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 题型10 求余弦（型）函数（二次、分式）的值域、最值 【例19】函数，的值域为 . 【例20】函数的值域是 . 【变式10-1】设函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间 (2)求函数的值域 【变式10-2】函数的值域是 ． 【变式10-3】若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 题型11 利用单调性、值域求参数 【例21】函数恒有，且在上单调递减，则 . 【例22】已知函数的值域为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为 . 【变式11-2】当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 一、单选题 1．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为，若，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象过点，对任意且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 7．已知函数 则（   ） A．函数与有相同的最小正周期 B．函数与的图象至少有一条相同的对称轴 C．函数与的图象的对称中心之间的最小距离为 D．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 三、填空题 8．函数的定义域为 . 9．将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有 交点. 10．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 11．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 12．设，定义运算求函数的最值. 13．已知直线和是函数图象的两条相邻对称轴． (1)求的解析式； (2)求函数的单调增区间； (3)设，记在区间上的最小值为，求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3.3 余弦函数的性质与图像 教学目标 1．掌握余弦函数图象的平移法与“五点法”绘制，能画出上的简图。 2．熟知余弦函数的定义域、值域、周期等核心性质，理解奇偶性与对称性。 3．能运用余弦函数性质判断单调区间、求最值，解决基础应用问题。 教学重难点 重点：余弦函数图象的“五点法”绘制步骤，两种图象绘制方法的应用；余弦函数的周期性、奇偶性、单调性及最值等核心性质。 难点：精准选取“五点法”关键点，把握图象的对称性与凸凹方向；灵活运用余弦函数单调性求区间，理解对称性的代数表达。 知识点1：余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 【即学即练】 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 2．用“五点法”作，的图象. 【答案】图象见解析 【详解】（1）取值列表： 0 －1 0 1 0 －1 （2）描点连线，如图所示.    知识点2：余弦函数的图象性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上单调递增；在()上单调递减 最值 当()时，；当时， 对称性 对称中心为()；对称轴为直线() 【即学即练】 3．（多选）下列关于函数的表述正确的是（    ） A．在上单调递减 B．当时，函数取得最大值2 C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【答案】CD 【详解】A错，，则，则在上不单调． B错，当时，． C对，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数． D对，的值域为，所以的值域为． 故选：CD. 4．函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数的一个单调递增区间，即为函数的一个单调递增区间，作出的图象如下图所示. 由图可知函数的一个单调递增区间为， 故选：D. 题型01 五点作图法作余弦（型）函数的图像 【例1】作出函数，的大致图像. 【答案】答案见解析 【详解】解：由五点法列表得： 0 0 1 0 大致图像如下图所示： 【例2】当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】作出函数与的图象，如图所示， 观察在上的两个函数的图象，共有5个交点. 故选：C. 【变式1-1】已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 【变式1-2】当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 【变式1-3】函数在区间上的零点个数为（   ）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可知函数在区间上的零点个数， 即为函数在上的图象的交点个数； 作出函数的图象如图：    其中，当时，, 由图象可知的图象在上有4个交点， 即函数在区间上的零点个数为4， 故选：B 题型02 余弦（型）函数与不等式 【例3】已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，可得， 又因为，所以不等式的解集是， 故选：B． 【例4】已知函数，则角所处象限为（    ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限 【答案】B 【详解】由题意，，则， 所以，则， 则为偶数时，角在第一象限， 为奇数时，角在第三象限， 所以角所处象限为第一象限或第三象限. 故选：B. 【变式2-1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】不等式组的解集为 ． 【答案】 【详解】由得，， 由得，， 所以不等式组的解集为 故答案为：. 【变式2-3】已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 题型03 余弦（型）函数的周期性 【例5】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 故选：B． 【例6】“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为，则，解得， 所以，当时，函数的最小正周期为，反之，不一定成立，还可以为. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-1】下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 【变式3-2】函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 【答案】A 【详解】当时，的最小正周期为； 当时，的最小正周期为，故的最小正周期与有关． 根据函数周期的定义或函数图像平移的知识，可知的最小正周期与无关． 故选：A． 【变式3-3】对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2 【答案】B 【详解】由题可知，，则， 所以，，即，又，所以，解得，， 结合，可知k可取2，3. 故选：B. 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型04 余弦（型）函数的奇偶性 【例7】若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】解：函数的定义域为 因为为奇函数， 所以对任意的恒成立， 所以 故答案为： 【例8】函数在上的图像大致为（     ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【详解】函数，， 则， 所以为奇函数，则函数图象关于原点对称，故排除C； 当时，则， 所以，故排除B. 因为，排除C. 故选：A 【变式4-1】下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：是奇函数，不符； 选项B：最小正周期为，不符； 选项C：不具有周期性，不符； 选项D：最小正周期为，且为偶函数，符合. 故选：D. 【变式4-2】若为偶函数，则实数a= ． 【答案】/0.5 【详解】， ， 是偶函数，， 则有， 化简得，因不恒为0，故，解得. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 题型05 求余弦（型）函数的对称性 【例9】函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 【例10】函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 【变式5-1】已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】AC 【详解】由图知：，即，而，可得，故A正确； 由可得，即， 又，可得，故B错误； 由AB知，令，得为对称轴，故C正确； 当时，， 所以不是函数的对称中心，故D错误； 故选：AC 【变式5-3】函数在上的零点个数为 ． 【答案】4 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 对于函数的图象： （1）对称中心：由，得对称中心为，即函数值为0的点； （2）对称轴：由，得对称轴，即函数取得最值对应的与轴垂直的直线。 题型06 根据奇偶性或对称性求参数 【例11】将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 【例12】记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 因为的图象关于点中心对称， 所以，且，所以， 解得，令，得， 所以， 所以． 故选：B 【变式6-1】已知函数是偶函数，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由函数是偶函数，可得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式6-2】已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 【变式6-3】已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数的最小正周期为，则，则，， 由，得的图象关于点对称， 则，得，因为，所以． 故选：D. 题型07 求余弦（型）函数的单调区间 【例13】函数的单调递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由得单调递增区间为， 可得，， 解得：， 故函数的单调递增区间是，. 故选：C 【例14】下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：，其图像关于轴对称， 时，时，无周期性重复图像，故不是周期函数. 当时，，在上单调递增，符合题意. 对于选项B：，当时，， 在上单调递减，不符合递增要求. 对于选项C：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 对于选项D：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 故选：A 【变式7-1】函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，其图象如图所示：    由图知：函数在上单调递减. 故选：C 【变式7-2】在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 【变式7-3】函数的单调递减区间为 ． 【答案】（） 【详解】由，得函数的定义域为， 令，函数在上单调递减， 且在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性得函数的递减区间为，递增区间为. 故答案为： 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型08 利用单调性比较大小 【例15】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，，故A错误； 对B，，， 因为，则，即，故B错误； 对C，，，故，故C错误； 对D，， ， 因为，则，即，故D正确. 故选：D. 【例16】（9-10高三·甘肃天水·月考）在三角形中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为是三角形的内角，且， 所以，因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，，， 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件， 故选：C. 【变式8-1】（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因，故A正确； 对于B，因，因，函数在上单调递减， 故，故B正确； 对于C，因， 因，函数在上单调递增，则， 故，即C错误； 对于D，因，故，即D正确. 故选：ABD. 【变式8-2】设，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数单调性可得：， 由对数函数单调性可得：，， 因为，所以， 即， 故选：C 【变式8-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以， 则，即． 故选：D 题型09 求余弦（型）函数的值域、最值 【例17】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可得， 因，则，故. 故选：A. 【例18】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）令，， 解得，，则的单调递增区间为. （2）当时，， 则，即， 则其在区间上的值域为. 【变式9-1】函数且，则函数值域是 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】当时，，则， 所以函数值域是. 故答案为：. 【变式9-2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由条件可知，， 余弦函数在该区间上单调递增，所以的最大值为， 故答案为： 【变式9-3】已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，最小值为. 【分析】 【详解】（1）函数的最小正周期 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由，得， 则当，即时，， 当 ，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 题型10 求余弦（型）函数（二次、分式）的值域、最值 【例19】函数，的值域为 . 【答案】 【详解】， 因为，， 所以当时，取得最大值； 当或时，取得最小值； 所以函数，的值域为. 故答案为： 【例20】函数的值域是 . 【答案】 【详解】由题意， 因为， 所以， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 【变式10-1】设函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间 (2)求函数的值域 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）， 则的最小正周期； 当时，解得， 得的单调递增区间为. （2）， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，；时，； 所以的值域为， 即函数的值域为. 【变式10-2】函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【变式10-3】若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 【答案】D 【详解】，，，分别作出它们的图象如下，              要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 题型11 利用单调性、值域求参数 【例21】函数恒有，且在上单调递减，则 . 【答案】或 【详解】由已知恒有， 可得，可得， 可得，可得， 已知在上单调递减， 可得，可得，解得， 时时， 时，，符合题意， 时，，符合题意. 故答案为：或. 【例22】已知函数的值域为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，单调递减，故， 故要使得的值域是， 则当时，的最小值为，且最大值大于或等于， 即当时，，且，当时，， ∴，解得， 故选：A． 【变式11-1】已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为 . 【答案】 【详解】已知，，那么，所以， 因为余弦函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增，所以， 由此可得不等式组，可得，则的最大值为1. 故答案为：1. 【变式11-2】当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 【变式11-3】已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 【答案】或 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 一、单选题 1．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 2．函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数， 令，为奇函数， 为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB， ，，， 所以，排除选项C， 故选：D. 3．函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 4．已知函数的最小正周期为，若，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的最小正周期为，又，所以，得， ，故， 又，则，得， 又，当时，， 所以的最小值为. 故选：C. 5．已知函数的图象过点，对任意且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而，则，， 由对任意，都有， 得函数在上单调递减， 当时，， 而余弦函数的单调递减区间为：， 则， 于是，解得，显然， 即，而，因此，故，由题知，故， 故选：A. 二、多选题 6．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【详解】对于A：的最小正周期，故A正确； 对于B：当，则， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C：， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D：， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD 7．已知函数 则（   ） A．函数与有相同的最小正周期 B．函数与的图象至少有一条相同的对称轴 C．函数与的图象的对称中心之间的最小距离为 D．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【详解】对于选项A，，所以周期， ，周期，两者周期相同，故A正确. 对于选项B，的对称轴满足 （），解得 （）， 的对称轴满足（），解得（）， 当 时， 是两者共同的对称轴，故B正确. 对于选项C，的对称中心满足 （）， 解得 ，对称中心为 （）， 的对称中心满足 （）， 解得 ，对称中心为 （）， 则两个对称中心的距离为， 当 ， 时，距离为， 此时距离为，比 更小，故C错误. 对于选项D，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 . 再将 的图象向左平移 个单位长度，得到 ， 而 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 9．将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有 交点. 【答案】4 【详解】由题意知，，余弦曲线为， 则，即，整理得， 当，时，解为； 当，即，时，解为， 所以的图象与余弦曲线共有4个交点, 故答案为：4. 10．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递增， 当时，， 则， 因为，所以， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 【答案】(1) (2)2，0（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）函数， 所以的最小正周期为. （2）函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 12．设，定义运算求函数的最值. 【答案】最大值为、最小值为－1. 【详解】由题意可得 当时，若，则或. 当或时，；当时，， 所以，其中, 当，时，， 当，时，， 综上可得， 所以函数的最大值为，最小值为－1. 13．已知直线和是函数图象的两条相邻对称轴． (1)求的解析式； (2)求函数的单调增区间； (3)设，记在区间上的最小值为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，则， ，所以， 因为，取所以. 所以. （2）, 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. （3）令，因为，， 因为，， 当，即，. 当，即，， 当，即，. 综上可得 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $