7.3.2 第1课时 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 1.正弦型函数的定义 一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0. 2.φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 (1)φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 (2)ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响 (3)A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 3.正弦型函数中的常数A,ω,φ的物理意义 |A|称为振幅;φ称为初相;周期T=,f==称为频率. 4.函数y=Asin(ωx+φ)的性质 函数 y=Asin(ωx+φ) 定义域 R 值域 [-|A|,|A|] 单调性 若A>0,ω>0时,将ωx+φ视为整体,代入y=sin x相应的单调区间求解;若A<0或ω<0时,注意单调性的变化 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数, 当φ=kπ±(k∈Z)时为偶函数 周期性 T= 图象的 对称性 将ωx+φ视为整体,代入y=sin x图象相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解 |微|点|助|解| 　　三角函数图象变换的方法 　　从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的常用方法有两种: 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,能得到函数y=sin的图象. (　　) (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象. (　　) (3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到y=6sin的图象. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√ 2.函数y=sin在区间上的简图是 (　　) 答案:A 3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是 (　　) A.4π,-2 B.4π,2 C.π,2 D.π,-2 答案:B 题型(一)　三角函数图象的变换 角度1　平移变换 [例1]　将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 (　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:选D　函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移个单位后, 得到图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D. |思|维|建|模| 　　三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离. 角度2　伸缩变换 [例2]　为了得到函数y=sin的图象,需将函数y=sin的图象 (　　) A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变 C.横坐标变为原来的,纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的,横坐标不变 解析:选C　只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,便得到函数y=sin的图象,故选C. |思|维|建|模| 　　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点: (1)两种变换中平移的单位不同,分别是|φ|和,但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的. 　　[针对训练] 1.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 (　　) A.y=sin　　　 B.y=sin C.y=sin D.y=sin 解析:选C　将y=sin x的图象向右平移个单位得到y=sin的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin的图象. 2.写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤. 解:法一　先平移再伸缩,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位,得到y=sin的图象; ②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象; ③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 法二　先伸缩再平移,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象; ②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位,得到y=sin=sin的图象; ③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 题型(二)　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3]　用“五点法”作函数y=3sin的简图,并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相. 解:(1)列表: x x- 0 π 2π y 0 3 0 -3 0 (2)描点:在直角坐标系中描出点,,,,. (3)连线:将所得五点用光滑的曲线顺次连起来,如图所示. (4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位,得函数y=3sin的图象. 此函数振幅为3,最小正周期为4π,频率为,初相为-. |思|维|建|模| 　　用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步:列表. ωx+φ 0 π 2π x - - - - - y 0 A 0 -A 0 　　第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象.　　 [针对训练] 3.用“五点法”作出函数y=2sin的图象,并指出函数的单调区间. 解:(1)列表: x - 2x+ 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 (2)描点. (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,所得图象如图所示,为该函数在一个周期内的图象,然后将图象左右平移(每次π个单位)即可得到该函数在定义域R内的图象. 由图象知在一个周期内,函数在上单调递减,又因为函数的最小正周期为π,所以函数的单调递减区间为(k∈Z).同理,单调递增区间为(k∈Z). 题型(三)　由函数的图象确定函数的解析式 [例4]　如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式. 解:法一:最值点法　由题图可得A=2,ω=, 将最高点坐标代入y=2sin, 得2sin=2. 所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+(k∈Z). 又因为|φ|<π,所以φ=. 所以此函数的解析式为y=2sin. 法二:起始点法　由题图可得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=.又因为A=2,所以此函数的解析式为y=2sin. 　　[变式拓展] 将本例中的图象变为右图所示的图象,试求函数的解析式. 解:法一　根据题意,A=3,T=-=π,∴ω==2. 将点M代入y=3sin(2x+φ)中, 得3=3sin,∴sin=1.∴+φ=,即φ=, 从而所求函数解析式为y=3sin. 法二　由题图知A=3,又图象过M,N,根据“五点法”的原理(M,N可视为“五点法”中的第二点和第四点),有解得从而所求函数解析式是y=3sin. |思|维|建|模| 由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法 1.最值法 (1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,|A|=. (2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T. (3)φ:以“五点法”中的最高点作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者由“五点法”中的第一个点作为突破口,从图象的升降情况找准第一点的位置. 2.“五点”对应法 依据“五点法”的原理,点的序号与式子的关系如下:“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=;“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π. 　　[针对训练] 4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则ω,φ的值分别是 (　　) A.2,- 　　　　　B.2,- C.4,- 　　　　　D.4, 解析:选A　由题图可知最小正周期T=2×=π,∴ω=2.将图象最高点的坐标代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin=1,则+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ| <,∴φ=-. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知, ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4,又f=sin=0, ∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件, ∴f(π)=sin=-. 答案:- 学科网（北京）股份有限公司 $